近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编 专题14 坐标系与参数方程（Word含答案）

专题14 坐标系与参数方程
1.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标.
2.【2019年·全国Ⅰ卷（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
3.【2019年·全国Ⅲ卷（理）】如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
4.【2020年·全国Ⅲ卷（理）】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且），C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
5.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当在C上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
6.【2020年·全国Ⅱ卷（文）】已知曲线，的参数方程分别为（θ为参数），（t为参数）.
（1）将，的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设，的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
7.【2021年·全国甲卷（文）】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点.
8.【2021年·全国乙卷（理）】在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为1.
（1）写出的一个参数方程；
（2）过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
答案以及解析
1.答案：（1）曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆；（2）.
解析：（1）当时，消去参数得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆.
（2）当时，消去参数得的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为.
由解得
故与的公共点的直角坐标为.
2.答案：（1）因为，且，所以的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）.
上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为.
3.答案：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（2）设，由题设及1知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，的极坐标为或或或.
4.答案：（1）因为，由得，所以C与y轴的交点为；由得，所以C与x轴的交点为.
故.
（2）由（1）可知，直线的直角坐标方程为，将代入，得直线的极坐标方程.
5.答案：（1）因为点在曲线上，
所以；
即，所以，
因为直线l过点且与垂直，
所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）设，则，，
由题意，，所以，故，整理得，
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，
所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.
6.答案：（1）的普通方程为.
由的参数方程得，所以.
故的普通方程为.
（2）由得
所以P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得
，
解得.
因此，所求圆的极坐标方程为.
7.答案：（1）根据，得，
因为，，
所以，所以C的直角坐标方程为.
（2）设，，则，.
因为，所以即
因为M为C上的动点，
所以，即.
所以P的轨迹的参数方程为（其中为参数，）.
所以，的半径，又的半径，所以，
所以C与没有公共点.
8.答案：（1）的圆心为，半径为1，
则的标准方程为，
的一个参数方程为（为参数）.
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在.
设切线方程为，即.
圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为.
因为，，所以这两条切线的极坐标方程为.