数学高中苏教版选修（2-2）2.3《数学归纳法义》课件1
文档属性
| 名称 | 数学高中苏教版选修（2-2）2.3《数学归纳法义》课件1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 151.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-03 10:23:33 | ||
图片预览
文档简介
课件15张PPT。2.3数学归纳法你玩过多米诺骨牌吗？如何才能使所有的多米诺骨牌倒下？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下！分析:猜想数列的通项公式为数学归纳法的概念(1)(归纳奠基) 证明当n取第一个值n0 时命题成立；
(2)(归纳递推) 假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立一般地，证明一个与正整数有关的命题,按下列步骤进行: 只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
这种证明方法叫做数学归纳法.证明：（1）当n=1时，左边=12=1等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立凑出目标用到假设练习:用数学归纳法证明用数学归纳法证明课堂练习2：例2已知数列· · ·，，· · ·，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。?5用数学归纳法证明?+?+?+…+?<1-?(n≥2,n∈N*).证明:(1)当n=2时,左边=?=?,右边=1-?=?.因为?又f(2)＝ ×2×(2－1)＝1，
因此，当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)＝ k(k－1)．现在来考虑平面内有k＋1条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l(如下图所示)．由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)＝ k(k－1)．另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的 k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是 k(k－1)＋k＝ k[(k－1)＋2]＝ (k＋1)[(k＋1)－1]．
这就是说，当n＝k＋1时，k＋1条直线的交点个数为
f(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]．
根据(1)、(2)可知命题对任何大于2的正整数都成立．【例题3】 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不 相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.证明:(1)当n=1时,分为两部分,f(1)=2,命题成立;(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时,被分成f(k)=k2-k+2部分;那么当n=k+1时,依题意,第k+1个圆与前k个圆产生2k个交点,第k+1 个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,∴平面上增加了2k个区域.∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立,由(1)(2)知命题成立.
(2)(归纳递推) 假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立一般地，证明一个与正整数有关的命题,按下列步骤进行: 只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
这种证明方法叫做数学归纳法.证明：（1）当n=1时，左边=12=1等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立凑出目标用到假设练习:用数学归纳法证明用数学归纳法证明课堂练习2：例2已知数列· · ·，，· · ·，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。?5用数学归纳法证明?+?+?+…+?<1-?(n≥2,n∈N*).证明:(1)当n=2时,左边=?=?,右边=1-?=?.因为?又f(2)＝ ×2×(2－1)＝1，
因此，当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)＝ k(k－1)．现在来考虑平面内有k＋1条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l(如下图所示)．由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)＝ k(k－1)．另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的 k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是 k(k－1)＋k＝ k[(k－1)＋2]＝ (k＋1)[(k＋1)－1]．
这就是说，当n＝k＋1时，k＋1条直线的交点个数为
f(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]．
根据(1)、(2)可知命题对任何大于2的正整数都成立．【例题3】 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不 相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.证明:(1)当n=1时,分为两部分,f(1)=2,命题成立;(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时,被分成f(k)=k2-k+2部分;那么当n=k+1时,依题意,第k+1个圆与前k个圆产生2k个交点,第k+1 个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,∴平面上增加了2k个区域.∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立,由(1)(2)知命题成立.