(共48张PPT)
3.万有引力定律的应用
必备知识·自主学习
一、预言彗星回归,预言未知星体
二、计算天体的质量
【情境思考】
已知一个人的重力,(1)如何求出地球的质量 (2)如何求地球的密度
提示:(1)地面上物体的重力等于万有引力或卫星所受的万有引力等于向心力。
(2)地球的质量除以地球的体积。
1.地球质量的计算:
(1)思路:地球表面的物体,忽略地球_____影响,物体的重力等于___________
___________。
(2)关系式:mg=_______。
(3)结果:M=_____,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
自转
地球对物体
的万有引力
2.太阳质量的计算:
(1)思路:绕中心天体运动的其他天体或卫星做_____________,向心力等于它
与中心天体的万有引力,利用此关系建立方程求中心天体的质量。
(2)关系式: =_______。
(3)结论:M=______,只要知道了行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r,就可以计
算出太阳的质量。
3.其他行星的质量计算:
若已知卫星绕行星的环绕周期T及环绕半径r,就可以计算行星的质量M=_____。
匀速圆周运动
关键能力·合作学习
知识点一 天体质量和密度的计算
任务1 天体质量的计算
【典例示范】
【典例1】若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r,则太阳质量与地球质量之比为 ( )
【解析】选B。地球绕太阳公转,由太阳的万有引力提供地球的向心力,
则得:
解得太阳的质量为:
月球绕地球公转,由地球的万有引力提供月球的向心力,则得:
解得地球的质量为:
所以太阳质量与地球质量之比 ,故B正确。
任务2 天体密度的计算
1.一般思路:若天体半径为R,则天体的密度 将质量代入可求得密度。
2.特殊情况:当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r可认为等于天体半径R,
依据 R=r,可得:
【问题探究】
(1)一卫星以r的半径绕质量为M的中心天体做周期为T的匀速圆周运动,如何求中心天体的质量
提示:
(2)在其他条件均不变的情况下,中心天体的密度越小,中心天体的半径越大,中心天体的半径能大于卫星的轨道半径r吗
提示:不能
【典例示范】
【典例2】在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为g1、g2,地球自转周期为
T,万有引力常量为G,若把地球看作一个质量均匀分布的圆球体,则地球的密度
为 ( )
【解析】选B。质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力。根据
万有引力定律和牛顿第二定律,在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所
受的重力联立求解,地球两极mg1= ①,在地球赤道上 -mg2=
②,联立①②得R= ,由①得M= ,地球密度ρ= =
B正确。
【素养训练】
1.如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T,就能根据万有引力定律“称量”月球的质量M。已知引力常量G,则月球质量M为 ( )
【解析】选A。在月球表面重力与万有引力相等,有: =mg,可得月球的质
量为:M= ,故A正确,B错误;根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心
天体的质量,若根据月球绕地球圆周运动周期和轨道半径可求得中心天体地球
的质量,无法求出月球的质量,故C、D均错误。
2.某同学从网上得到一些地球和月球的信息,如表格中的数据所示,请根据题意,
判断地球和月球的密度之比为 ( )
A. B. C.4 D.6
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
【解析】选B。设地球的质量为M,月球的质量为M0,地球的密度为ρ,月球的密度
为ρ0;又忽略星球自转,星球表面上的物体所受重力等于万有引力,可得
,所以 ,B正确。
【加固训练】
1.一个行星,其半径比地球的半径大2倍,质量是地球的25倍,则它表面的重
力加速度是地球表面重力加速度的 ( )
A.6倍 B.4倍 C. 倍 D.12倍
【解析】选C。根据 得:g= ,因为行星的质量是地球质量的25倍,
半径是地球半径的3倍,则行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的
倍。故C正确,A、B、D错误。
2.(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量 ( )
A.月球的轨道半径和月球的公转周期
B.月球的半径和月球的自转周期
C.卫星的质量和卫星的周期
D.卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
【解析】选A、D。只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径,利用公
式 就可以计算出中心天体的质量,故选项A、D正确。
知识点二 天体运动的分析和计算
任务1 天体运动的分析
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,
所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基
本关系式: =ma,式中a是向心加速度。
2.常用的关系式:
(1) 万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动
的向心力。
(2)mg= 即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公
式通常被称为黄金代换式。
3.四个重要结论:设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的
匀速圆周运动。
(1)由 r越大,天体的v越小。
(2)由 r越大,天体的ω越小。
(3)由 r越大,天体的T越大。
(4)由 r越大,天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定,越远越慢”。
【问题探究】
情境:在电影《流浪地球》中,太阳即将毁灭,人类将要灭绝。为了人类的文明得以维系,流浪地球计划得以实施,刘培强等人连续在太空舱生活了17年。
讨论:(1)太空舱绕地球做圆周运动时,受力平衡吗 什么力提供向心力
提示:不平衡,万有引力
(2)太空舱的运行周期是否可以求得
提示:在知道中心天体质量和运动半径的情况下,可以利用万有引力的关系式求得运行周期。
【典例示范】
【典例1】木星至少有16颗卫星,1610年1月伽利略用望远镜发现了其中的4颗。
这4颗卫星被命名为木卫1、木卫2、木卫3和木卫4。他的这个发现对于打破
“地心说”提供了重要的依据。若将木卫1、木卫2绕木星的运动看作匀速圆周
运动,已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径,则它们绕木星运行时( )
A.木卫2的周期大于木卫1的周期
B.木卫2的线速度大于木卫1的线速度
C.木卫2的角速度大于木卫1的角速度
D.木卫2的向心加速度大于木卫1的向心加速度
【解析】选A。研究卫星绕木星表面做匀速圆周运动,根据万有引力提供圆周运
动所需的向心力得出: 由上式可得:T=
2π ,已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径,则木卫2的周期大于木
卫1的周期,故A正确;由v= ,已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径,所
以木卫2的线速度小于木卫1的线速度,故B错误;由ω= ,已知木卫2的轨道
半径大于木卫1的轨道半径,所以木卫2的角速度小于木卫1的角速度,故C错误;
由a= ,因木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径,所以木卫2的向心加速度
小于木卫1的向心加速度,故D错误。
任务2 天体运动的计算
1.比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物
理量的大小时,可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)。
2.涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时,若已知
量或待求量中涉及重力加速度g,则应考虑黄金代换式gR2=GM(mg= )的应
用。
3.若已知量或待求量中涉及v或ω或T,则应考虑从
中选择相应公式应用。
【典例示范】
【典例2】中国在文昌卫星发射中心用“长征五号遥三”运载火箭，成功将“实践二十号”卫星送入东经105.5度的地球同步轨道（卫星周期等于地球自转周期）。①已知“实践二十号”卫星轨道距地面高度为h，地球半径为R，②赤道上物体随地球做圆周运动的加速度为a③，求“实践二十号”卫星在轨道上运行的周期和速度大小。
【审题关键】
序号 信息提取
① “实践二十号”卫星的周期为24小时
② 卫星轨道半径为h+R
③ 加速度a对应的半径为R,周期为24小时
【解析】对赤道上随地球做圆周运动的物体,有:a=ω2R,ω=
同步卫星与赤道上的物体的周期都等于地球的自转周期,得:T=2π
对“实践二十号”卫星,有:v= ,得:v=(R+h)
答案:2π (R+h)
【素养训练】
1.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
【解析】选A。对卫星，由万有引力定律得 ，又知
联立解得T= ,故A正确，B、C、D错误。
2.英国某媒体推测:人类有望登上火星,而登上火星的第一人很可能是中国人。假如你有幸成为人类登陆火星的第一人,乘坐我国自行研制的、代表世界领先水平的神舟X号宇宙飞船,通过长途旅行,可以目睹美丽的火星。为了熟悉火星的环境,你的飞船绕火星做匀速圆周运动,离火星表面的高度为H,飞行了n圈,测得所用的时间为t。已知火星半径为R、引力常量为G。
(1)求火星表面重力加速度g。
(2)求火星的平均密度ρ。
【解析】(1)设火星和飞船的质量分别为M、m,
飞船绕火星做匀速圆周运动的周期为:T=
火星对飞船的万有引力提供飞船做匀速圆周运动的向心力
对放在火星表面质量为m0的物体有:
联立得:
(2)火星的质量为
火星半径为R,体积为
可以求得密度
答案:(1) (2)
【加固训练】
(多选)假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来
的2倍,仍做匀速圆周运动,则 ( )
A.根据公式v=ωr,可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B.根据公式F= 可知卫星所需的向心力将减少到原来的
C.根据公式F= 可知地球提供的向心力将减少到原来的
D.根据上述B和C给出的公式,可知卫星运动的线速度将减少到原来的
【解析】选C、D。人造卫星绕地球运动时万有引力提供向心力,即F向心=
所以 当轨道半径r增加时,v和ω都
减小,故A错误;由 可知,r增大到原来的2倍时,向心力将减少到原来
的 ,选项B错误、C正确;由v= 可知,当r增大到原来的2倍时,线速度将减
小到原来的 ,选项D正确。
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.我国以“一箭双星”的方式成功发射第52、53颗北斗导航
卫星,已知地球的质量为M,引力常量为G,设卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道
半径为r,则卫星在圆轨道上运行的速率为 ( )
【解析】选A。研究卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,列
出等式: 解得: 故本题选A。
2.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T。
假设地球是一个均匀球体,那么仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有
( )
A.月球的质量
B.地球的质量
C.地球表面的重力加速度
D.地球的密度
【解析】选B。万有引力提供环绕天体的向心力,此式只能计算中心天体的质量,
根据题给定的数据可以计算中心天体地球的质量,而不能计算环绕天体月球的
质量,故A不符合题意;根据万有引力提供向心力可得:
可得中心天体地球的质量M= ,故B符合题意;在地球表面重力和万有引力
相等,即m'g= ,所以g= ,因不知道地球半径r,故不可以求出地球表面
的重力加速度;故C不符合题意;因为月球不是近地飞行,故在不知道地球半径的
情况下无法求得地球的密度,故D不符合题意。
3.科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。测一质量为m的物体的重力,假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为F1,在火星赤道上宇航员用同一把弹簧测力计测得的读数为F2。通过天文观测测得火星的自转角速度为ω,设引力常量为G,将火星看成是质量分布均匀的球体,则火星的密度和半径分别为 ( )
【解析】选A。在两极: =F1;在赤道上: -F2=mω2R;联立解得R=
; 由 =F1,且M= πR3ρ,解得ρ= ,故选A。
4.在一个半径为R的星球表面,以速度v竖直向上抛出一物体,经过时间t物体落回星球的表面,则该星球的质量是多少
【解析】物体在星球表面上竖直上抛,由运动学知识可得:
v= ,则g= ,
若不考虑星球的自转,
答案:
5.我国已实现探月计划, 在“鹊桥”中继星支持下“嫦娥四号”着陆器与“玉兔二号”巡视器顺利完成互拍,同学们也对月球有了更多的关注。若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径。
【解析】根据万有引力定律和向心力公式:
根据万有引力等于重力:
联立解得:
答案:(共48张PPT)
4.人造卫星 宇宙速度
必备知识·自主学习
一、人造卫星
1.卫星:
自然的或人工的在太空中___________的物体。
2.提出设想第一人:
俄国宇航先驱_______________在《天地幻想和全球引力效应》论文中,率先提
出制造人造地球卫星的设想。
3.第一颗人造卫星:
1957年10月4日,由苏联送入环绕_____轨道。
绕行星运动
齐奥尔科夫斯基
地球
二、宇宙速度
数 值 意 义
第一宇
宙速度 ____ km/s 卫星在地球表面附近绕地球做_________
_____的速度
第二宇
宙速度 _____ km/s 使卫星挣脱_____引力束缚的最小地面发
射速度
第三宇
宙速度 _____ km/s 使卫星挣脱_____引力束缚的_____地面发
射速度
7.9
匀速圆周
运动
11.2
地球
16.7
太阳
最小
关键能力·合作学习
知识点一 宇宙速度的计算及意义
任务1 宇宙速度的理解
1.认识第一宇宙速度:第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具备的速度,即近地卫星的环绕速度。
2.推导:
万有引力提供卫星运动的向心力 重力提供卫星运动的向心力
公式
结果
3.决定因素:由第一宇宙速度的计算式 可以看出,第一宇宙速度的值由
中心天体决定,第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R,与卫星无
关。
4.理解:
(1)“最小发射速度”:向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难,因为发射
卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道,而近地轨
道的发射速度就是第一宇宙速度,所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速
度。
(2)“最大环绕速度”:在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中,近地卫星的
轨道半径最小,由 可得v= ,轨道半径越小,线速度越大,所以在
这些卫星中,近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
【问题探究】
情境:在电影《流浪地球》中,为了让地球摆脱被木星引力牵制,刘培强最终用生命驾驶太空舱完成了这项不可能完成的任务,挽救了人类。
讨论:(1)为了更准确地获得木星的数据,如果17年前刘培强驾驶飞船从地球飞向木星并绕木星飞行,飞船的发射速度至少为多少
提示:11.2 km/s
(2)如果现在要乘飞船去太阳系以外寻找适合人类居住的星球,飞船的发射速度至少为多少
提示:16.7 km/s
【典例示范】
【典例1】如图所示,牛顿在思考万有引力定律时就曾设想,把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出,速度一次比一次大,落地点也就一次比一次远。如果速度足够大,物体就不再落回地面,它将绕地球运动,成为人造地球卫星,则下列说法正确的是 ( )
A.落到A点的物体做的是平抛运动
B.以v<7.9 km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动
C.以7.9 km/s
D.以11.2 km/s【解析】选C。物体抛出速度v<7.9 km/s时必落回地面,但物体运动距离较大时受力不能看成恒值,万有引力指向地心,故物体运动不能看成平抛运动,故A、B错误;物体抛出速度v=7.9 km/s时,物体刚好能不落回地面,绕地球做圆周运动,故物体在B轨道上运行;当物体抛出速度7.9 km/s11.2 km/s时,物体会脱离地球,不可能沿C轨道运动,故D错误。
任务2 第一宇宙速度的计算
1.建立模型:卫星绕中心天体表面做匀速圆周运动,万有引力提供向心力。即
F万=F向。
2.中心天体表面运动的黄金代换: =mg;近地空间轨道上:
【典例示范】
【典例2】(多选)“玉兔二号”和“嫦娥四号”着陆器苏醒,开始执行第十六月昼科学任务。“玉兔二号”在地球表面的重力为G1,在月球表面的重力为G2;地球与月球均视为球体,其半径分别为R1、R2;地球表面重力加速度为g。则
( )
A.月球表面的重力加速度为
B.月球与地球的质量之比为
C.月球与地球的第一宇宙速度之比为
D.“嫦娥四号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为
【解析】选B、D。月球车的质量m= ,月球表面的重力加速度:g月=
故A错误;根据mg= 得M= ,月球与地球的质量之比:
故B正确;第一宇宙速度: 月球与地球的第一宇宙速度之比:
,故C错误;根据周期公式T= ,再根据g= ,“嫦娥四
号”绕月球表面做匀速圆周运动的周期 故D正确。
【素养训练】
1.一宇航员在一星球上以速度v0竖直向上抛一物体,经t秒钟后物体落回手中,已知星球半径为R,若使物体不再落回星球表面,物体抛出时的速度至少为 ( )
【解析】选A。物体抛出后,在星球表面上做竖直上抛运动。设星球对物体产生
的“重力加速度”为g,则v0=g× ;设抛出时的速度至少为v,物体抛出后不再落
回星球表面,根据牛顿第二定律有 mg=m ;联立得v= ,故选A。
2.我国月球探测计划嫦娥工程已经启动,“嫦娥一号”探月卫星也已发射。设想“嫦娥一号”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动,飞船发射的月球车在月球软着陆后,自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度v0 抛出一个小球,测得小球经时间t落回抛出点,已知月球半径为R,万有引力常量为G,月球质量分布均匀。求:
(1)月球表面的重力加速度。
(2)月球的密度。
(3)月球的第一宇宙速度。
【解析】(1)根据竖直上抛运动的特点可知:
v0- gt=0 ①
所以:g=
(2)月球的半径为R,设月球的质量为M,则:
=mg ②
质量与体积的关系:M=ρV= πR3·ρ ③
联立得:ρ=
(3)由万有引力提供向心力得: ④
联立①②④式得:v=
答案:(1) (2) (3)
【加固训练】
一探月卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面,已知月球的质量约为地球质
量的 ,月球半径约为地球半径的 地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,则
该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A.0.4 km/s B.1.8 km/s
C.11 km/s D.36 km/s
【解析】选B。对于环绕地球或月球的人造卫星,其所受万有引力即为它们做圆
周运动所需的向心力,即 所以v= ,第一宇宙速度指的是最小
发射速度,同时也是近地卫星的环绕速度,对于近地卫星来说,其轨道半径近似
等于中心天体半径,所以 所以v月= v地= ×7.9 km/s
≈1.8 km/s。故正确答案为B。
知识点二 人造卫星
任务1 地球同步卫星
1.概念:相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星,叫作地球同步卫星。
2.特点:
(1)确定的转动方向:和地球自转方向一致;
(2)确定的周期:和地球自转周期相同,即T=24 h;
(3)确定的角速度:等于地球自转的角速度;
(4)确定的轨道平面:所有的同步卫星都在赤道的正上方,其轨道平面必须与赤道平面重合;
(5)确定的高度:离地面高度固定不变(3.6×104 km);
(6)确定的环绕速率:线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
【典例示范】
【典例】北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A.周期大 B.线速度大
C.角速度大 D.加速度大
【解析】选A。根据天体环绕的“高轨、低速、长周期”可知，地球静止轨道
卫星的轨道半径高于近地卫星，所以线速度和角速度均小于近地卫星，周期
长于近地卫星，故A正确，B、C错误。由 =ma可知，加速度与轨道半径的
平方成反比，地球静止轨道卫星的加速度小于近地卫星的加速度，故D错误。
任务2 人造卫星的理解和计算
1.人造卫星的轨道:卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合,而这样的轨道有多种,其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道。
2.人造卫星的运行规律:人造卫星的运行规律类似行星运行规律。
(1)常用关系式:
(2)常用结论:卫星离地面高度越高,其线速度越小,角速度越小,周期越大,向心加速度越小。可以概括为“越远越慢、越远越小”。
【问题探究】
我国成功将“中星2D”卫星送入预定轨道。“中星2D”绕地球做匀速圆周运动时需要消耗能量提供动力吗 受到万有引力的作用吗 为什么能不落到地上来
提示:不需要消耗能量提供动力,受到万有引力的作用,万有引力提供向心力使其做匀速圆周运动。
【典例示范】
【典例2】(多选)如图所示，A为静止于地球赤道上的物体①、B为近地卫星②、
C为地球同步卫星③，关于它们线速度v、角速度ω、周期T和加速度a的比较，
正确的是（ ）
A.TA=TCC.ωA<ωB<ωC D.aA【审题关键】
序号 信息提取
① TA为地球自转周期
② B卫星轨道半径等于地球半径
③ TC为地球自转周期
【解析】选B、D。卫星C为同步卫星,周期与A物体周期相等,TA=TC,根据万有引
力提供向心力 得 近地卫星B轨道半径小于同步卫星C
的轨道半径,所以TBTB,故A错误;卫星C与A具有相等的角速度,A的
半径小于C的半径,根据v=ωr知vA得 近地卫星B轨道半径小于同步卫星C的轨道半径,则vB>vC,故有vB>vC
>vA,故B正确;卫星C与A具有相等的角速度,即ωA=ωC,根据万有引力提供向心力,
有 =mω2r,得 近地卫星B轨道半径小于同步卫星C的轨道半径,则
ωB>ωC,故有ωA=ωC<ωB,故C错误;卫星C与A具有相等的角速度,A的半径小于C
的半径,根据a=ω2r知aA近地卫星B轨道半径小于同步卫星C的轨道半径,所以aB>aC,故有aB>aC>aA,故D正
确。
【素养训练】
1.“嫦娥二号”卫星发射后直接进入近地点高度200千米、远地点高度约38万千米的地月转移轨道直接奔月,如图所示。当卫星到达月球附近的特定位置时,卫星就必须“急刹车”,也就是近月制动,以确保卫星既能被月球准确捕获,又不会撞上月球,并由此进入近月点100千米、周期12小时的椭圆轨道a。再经过两次轨道调整,进入100千米的极月圆轨道b,轨道a和b相切于P点。下列说法正确的是 ( )
A.“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s
B.“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2 km/s
C.“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的速度va=vb
D.“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为aa、ab,则aa【解析】选A。“嫦娥二号”卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间,A项正确、B项错误;“嫦娥二号”卫星在a轨道经过P点时减小卫星速度,卫星即可由椭圆轨道a变为圆轨道b,故va>vb,但万有引力相同,加速度相同,C、D错误。故选A。
2.我国首颗量子科学实验卫星成功运行后,我国将在世界上首次实现卫星和地
面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量
子卫星轨道在赤道平面,如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m
倍,同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍,图中P点是地球赤道上一点,由此可
知 ( )
A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为
B.同步卫星与P点的速率之比为
C.量子卫星与同步卫星的速率之比为
D.量子卫星与P点的速率之比为
【解析】选D。根据 由题意知r量=mR ,r同=nR,所以
故A错误;P为地球赤道上一点,P点角速度等于同步
卫星的角速度,根据v=ωr,所以有 故B错误;根据
得v= ,所以 故C错误;综合B、C,有v同=nvP,
故D正确,故选D。
【拓展例题】考查内容:同步卫星与赤道上物体运动的比较
【典例】同步卫星离地心的距离为r,运行速率为v1,加速度为a1,地球赤道上的
物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则( )
【解析】选D。同步卫星的角速度与赤道上的物体随地球自转的角速度相同,所
以 选项A、B错;对于同步卫星, 所以
对于近地卫星, 所以 所以 C错,D对。
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.下列关于同步卫星的说法正确的是 ( )
A.它的周期与地球自转同步,但高度和速度可以选择,高度增大,速度减小
B.它的周期、高度、速度的大小都是一定的
C.我国发射的同步通信卫星定点在北京上空
D.不同的同步卫星的向心力相同
【解析】选B。所谓地球同步卫星,即指卫星绕地球转动的周期与地球的自转周期相同,与地球同步转动,且在赤道上空的某地,站在地球上观看(以地球本身为参照物)它在空中的位置是固定不动的。所有的地球同步卫星满足的必要条件是它们的轨道都必须位于地球的赤道平面内,角速度等于地球自转的角速度,周期等于地球自转的周期,则轨道高度和速度是确定的,故A、C错误,B正确。由万有引力等于向心力和向心力公式知质量不同的卫星的向心力是不同的,故D错误。故选B。
【加固训练】
地球同步卫星“静止”在赤道上空的某一点,它绕地球的运行周期与地球
的自转周期相同。设地球同步卫星运行的角速度为ω1,地球自转的角速度为ω2,
则ω1和ω2的关系是 ( )
A.ω1>ω2 B.ω1=ω2
C.ω1<ω2 D.无法确定
【解析】选B。地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同,由ω= 可知,角
速度相同,故本题选B。
2.(多选)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1,而使物体脱离星
球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2,v2与v1的关系是v2= v1,已
知某星球半径是地球半径R的 ,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g
的 ,地球的平均密度为ρ,不计其他星球的影响,则 ( )
A.该星球上的第一宇宙速度为
B.该星球上的第二宇宙速度为
C.该星球的平均密度为
D.该星球的质量为
【解析】选B、C。根据第一宇宙速度v1′= 故A错误;根据
题意,第二宇宙速度v2′= v1′= ,故B正确;根据公式gR2=GM和M=ρ πR3,
得ρ= ,所以ρ′= ,故C正确;根据公式M′=ρ′πR′3=
× π( )3= ,故D错误。
3.发射地球同步卫星时,先将卫星发射到近地圆轨道上,如图所示,在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道,最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入高度为h2的同步轨道,如图所示。已知地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响。求:
(1)地球的第一宇宙速度。
(2)卫星在远地点B的加速度大小。
【解析】(1)近地卫星做圆周运动,向心力由重力提供,即:
mg=m ,解得:v= 。 ①
(2)设地球质量为M,卫星质量为m,万有引力常量为G,卫星在远地点B点时的加速
度为aB,在同步轨道运动时万有引力提供圆周运动向心力,有:
G =maB ②
又因为卫星在地球表面上受到的万有引力等于重力
G =mg ③
联立解得:aB= g。 ④
答案:(1) (2) g
4.人造地球同步卫星是一种特殊的人造卫星,简称同步卫星,多用于通信,它相对地面静止,犹如悬挂在地球正上空一样。设地球的半径为R,自转的角速度为ω,地面附近的重力加速度为g。试求出同步卫星离地球表面的高度。
【解析】在地球表面重力等于万有引力,有: =mg
对于卫星,有: =m(R+h)ω2
联立解得,h= -R
答案: -R(共30张PPT)
阶段提升课
第三章
知识体系·思维导图
考点整合·素养提升
核心素养——物理观念
考 点 天体、卫星运动问题的处理
1.一个模型:无论是自然天体(如行星、月球等),还是人造天体(如人造卫星、空间站等),只要天体的运动轨迹为圆形,就可将其简化为质点的匀速圆周运动。
2.两种思路:
(1)做圆周运动的天体,所需的向心力由万有引力提供,即向心力等于万有引力。
据此所列方程是研究天体运动的基本关系式:
(2)不考虑地球或天体自转影响时,物体在地球或天体表面受到的万有引力约
等于物体的重力,即:
G =mg,故星球表面的重力加速度g= ,变形得GM=gR2,此式通常称为黄金
代换式。
天体、卫星问题的关键词转化:
【典例示范】
【典例】(多选)据报道,“嫦娥三号”探测器“玉兔号”成功自主“醒来”,“嫦娥一号”卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说, 中国“嫦娥三号”月球探测器创造了全世界在月工作时间最长纪录。假如月球探测器在月球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球,经时间t后小球回到出发点。已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.月球表面的重力加速度为
B.月球的质量为
C.探测器在月球表面获得 的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周
运动
D.探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【解析】选B、C。根据竖直上抛运动求得月球表面的重力加速度,再根据重力
与万有引力相等求得月球质量和月球的第一宇宙速度。根据竖直上抛运动规律
Δv=gt可知,月球表面的重力加速度g= ,故A错误;在月球表面重力与万有引
力相等,有G =mg,可得月球质量M= 故B正确;据万有引力提供圆
周运动向心力可知,探测器的最大运行速度 故C正确;绕月球
表面匀速飞行的探测器的周期T= 故D错误。
【素养评价】
某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星,春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有t1时间该观察者看不见此卫星。已知地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,卫星的运动方向与地球转动方向相同,不考虑大气对光的折射。下列说法中正确的是 ( )
A.同步卫星离地高度为
B.同步卫星加速度小于赤道上物体向心加速度
C.
D.同步卫星加速度大于近地卫星的加速度
【解析】选C。万有引力充当向心力,根据公式 联合黄金替代公式GM=gR2,h=r-R,可解得h= -R,A错误;由于同步卫星的运行周期和地球
自转周期相同,根据公式ω= 可得两者的角速度相同,根据a=ω2r可得半径越
大,向心加速度越大,故同步卫星加速度大于赤道上物体向心加速度,B错误;根
据光的直线传播规律,日落12小时内有t1时间该观察者看不见此卫星,如图所示,
同步卫星相对地心转过角度为θ=2α,sinα= ,结合θ=ωt1= t1,解得:
,故C正确;根据G =ma可得a= ,轨道半径越大,向心
加速度越小,所以同步卫星加速度小于近地卫星的加速度,D错误。
核心素养——科学思维
考点1 卫星变轨问题
1.运动分析:
(1)当卫星的速度突然增大时, 即万有引力不足以提供向心力,卫
星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,当卫星进入新的轨道稳定
运行时,由v= 可知其运行速度比原轨道时减小。
(2)当卫星的速度突然减小时, 即万有引力大于所需要的向心力,
卫星将做近心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,当卫星进入新的轨道稳
定运行时,由v= 可知其运行速度比原轨道时增大。
卫星的发射和回收就是利用这一原理。
2.变轨问题的关键词转化:
【典例示范】
【典例1】“嫦娥四号”在西昌卫星发射中心由“长征三号乙”运载火箭发射。成功登陆月球背面,全人类首次实现月球背面软着陆。如图为“嫦娥四号”登月轨迹示意图。图中M点为环地球运动的近地点,N为环月球运动的近月点,a为环月运行的圆轨道,b为环月球运动的椭圆轨道,下列说法中正确的是 ( )
A.“嫦娥四号”在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥四号”在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C.设“嫦娥四号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1,在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2,则a1>a2
D.“嫦娥四号”在N点从地月转移轨道进入环月轨道a时应点火加速
【解析】选B。地球的第二宇宙速度是11.2 km/s,达到此值时,卫星将脱离地球
的束缚,绕太阳运动,故“嫦娥四号”在环地球轨道上的运行速度不可能大于
11.2 km/s,故A错误。“嫦娥四号”在M点点火加速,使万有引力不足以提供向
心力,做离心运动,才能进入地月转移轨道,故B正确。根据万有引力和牛顿第二
定律得:G =ma,解得a= ,N点到月球的中心距离r不变,则a1=a2,故C错
误。“嫦娥四号”在N点点火减速,使万有引力大于向心力做近心运动,才能进
入环月轨道,故D错误。
【素养评价】
(多选)我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空,飞行轨道示意图如图所示,探测器从地面发射后奔向月球,在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,Q为轨道Ⅱ上的近月点。下列关于“嫦娥三号”的运动,正确的说法是 ( )
A.发射速度一定大于7.9 km/s
B.在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C.在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度
D.在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度
【解析】选A、B、C。地球的第一宇宙速度是发射卫星的最小速度,此速度只能贴近地球表面飞行,要想发射到更高轨道,发射速度应大于7.9 km/s,所以“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于第一宇宙速度,A正确;“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中受到月球引力作用,所以速率不断增大,B正确;“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上变轨到轨道Ⅱ上要在P点减速,故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度,C正确;“嫦娥三号”变轨前后在P处时所受万有引力不变,故其在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速度,D错误。
考点2 双星问题
1.双星问题特点:
(1)两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间直线上的某一点。
(2)两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供。
(3)两星的运动周期、角速度相同。
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离L,如图所示,r1+r2=L。
2.双星问题的两个重要关系式:
(1)双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力,
即G =m1ω2r1=m2ω2r2。
(2)根据(1)得m1r1=m2r2,即运动半径与质量成反比。
双星问题的关键词转化:
【典例示范】
【典例2】(多选) 天文学家召开全球新闻发布会,宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。科学家曾在一个河外星系中,发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,将黑洞视为质点,且两黑洞与圆心始终在一条直线上。若其中一黑洞的质量为M1,轨道半径为r1,角速度为ω1,加速度为a1,周期为T1,另一黑洞的质量为M2,轨道半径为r2,角速度为ω2,加速度为a2,周期为T2。根据所学知识,下列选项正确的是 ( )
A.两黑洞的角速度之比ω1∶ω2=M2∶M1
B.两黑洞的轨道半径之比r1∶r2=M2∶M1
C.两黑洞的向心加速度之比a1∶a2=M2∶M1
D.两黑洞的周期之比为T1∶T2=1∶1
【解析】选B、C、D。一对相互环绕旋转的超大质量不等的双黑洞系统,在相互
之间的万有引力的作用下,绕它们连线上某点做匀速圆周运动,具有相同的角速
度和周期,ω1∶ω2=T1∶T2=1∶1,故A项不合题意,D项符合题意;根据万有引力提
供向心力,有G =M1ω2r1=M2ω2r2,其中r1+r2=L,得到r1∶r2=M2∶M1,故B项符
合题意。根据a=ω2r,因为a1∶a2=r1∶r2=M2∶M1,故C项符合题意。
【加固训练】
1.(多选)人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
【解析】选B、C。由题可知双中子星相距L约400 km、万有引力常量G、双中
子星做匀速圆周运动的频率f=12 Hz。由万有引力提供向心力可得G
=m1(2πf)2r1、G =m2(2πf)2r2,r1+r2=L,联立解得:m1+m2= ,故选项A
错误,选项B正确;v1=2πfr1、v2=2πfr2,解得v1+v2=2πfL,故选项C正确;各自的
自转角速度无法估算,故选项D错误。
2.如图所示,由A、B组成的双星系统,绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,其
运行周期为T,A、B间的距离为L,它们的线速度之比为 =2,则 ( )
A.A、B角速度比为
B.A、B质量比为
C.A星球质量为MA=
D.两星球质量之和为MA+MB=
【解析】选D。万有引力提供双星做圆周运动的向心力,它们做圆周运动的周期
T相等,根据ω= 可知角速度之比为1∶1,故A错;根据v=ωr, =2,可知两星
球运动的半径之比为 =2∶1,由牛顿第二定律得:
解得:MA=
同理: 得MB= 所以A、B质量比为
且MA+MB=
故B、C错;D对。(共40张PPT)
第三章 万有引力定律
1.天 体
必备知识·自主学习
一、“地心说”和“日心说”之争
【情境思考】
托勒密和哥白尼分别是什么理论的代表人物
提示:托勒密提出“地心说”;哥白尼提出“日心说”。
1.地心说:_____是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月亮以及其他行星都绕
_____运动。代表人物是_______。
2.日心说:_____是宇宙的中心,是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动。
代表人物是_______。
地球
地球
托勒密
太阳
哥白尼
二、开普勒行星运动定律
定 律 内 容 公式或图示
开普勒
第一定
律 所有行星绕太阳运动的
轨道都是_____,太阳处
在_____的一个_____上
开普勒
第二定
律 对任意一个行星来说,
它与太阳的连线在相等
的时间内扫过___________
椭圆
椭圆
焦点
相等的面积
定 律 内 容 公式或图示
开普勒
第三定
律 所有行星的轨道的_______的
三次方跟它的_________的二
次方的比值都相等 公式: ____=k,k是一个与行星
_____的常量
半长轴
公转周期
无关
关键能力·合作学习
知识点一 对开普勒行星运动定律的认识
1.从空间分布上认识:行星的轨道都是椭圆,不同行星轨道的半长轴不同,即各行星的椭圆轨道大小不同,但所有轨道都有一个共同的焦点,太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。
2.对速度大小的认识:
(1)如图所示,如果时间间隔相等,即t2-t1=t4-t3,由开普勒第二定律,面积SA=SB,可见离太阳越近,行星在相等时间内经过的弧长越长,即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点,所以同一行星在近日点速度最大,在远日点速度最小。
3.对周期长短的认识:
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系,椭圆轨道半长轴越长的行星,其公转周期越长;反之,其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星,也适用于其他天体。例如,绕某一行星运动的不同卫星。
(3)研究行星时,常数k与行星无关,只与太阳有关。研究其他天体时,常数k只与其中心天体有关。
【问题探究】
地球绕太阳公转形成了四季交替现象。
地球绕太阳运动是否遵循开普勒行星运动定律
提示:遵循。
【典例示范】
【典例】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知 ( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
D.火星与木星公转周期的平方之比等于它们轨道半长轴的立方之比
【解析】选D。根据开普勒第一定律可知太阳处于椭圆的一个焦点上,A错误;开普勒第二定律:对每一个行星而言,太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等,行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化,B错误;开普勒第二定律:对每一个行星而言,太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等,是对同一个行星而言,C错误;根据开普勒第三定律,所有行星绕太阳运动的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等,D正确。
【素养训练】
1.发现“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆”的规律的科学家是 ( )
A.第谷 B.开普勒
C.牛顿 D.卡文迪许
【解析】选B。开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆轨道的一个焦点上。所以发现所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的科学家是开普勒。
2.如图,O表示地球,P表示一个绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,AB为长轴,CD为短轴。在卫星绕地球运动一周的时间内,从A到B的时间为tAB,同理从B到A、从C到D、从D到C的时间分别为tBA、tCD、tDC。下列关系式正确的是 ( )
A.tAB> tBA
B.tAB < tBA
C.tCD > tDC
D.tCD < tDC
【解析】选D。由卫星做椭圆运动的对称性得tAB=tBA,所以A、B错误;由开普勒第二定律,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以tCD3.(多选)关于行星的运动,以下说法正确的是 ( )
A.行星轨道的半长轴越长,自转周期越大
B.行星轨道的半长轴越长,公转周期越大
C.水星的半长轴最短,公转周期最长
D.海王星离太阳“最远”,绕太阳运动的公转周期最长
【解析】选B、D。根据开普勒第三定律:所有行星轨道的半长轴的三次方跟公
转周期的二次方的比值都相等,即 =k,所以行星轨道的半长轴越长,公转周期
就越大;行星轨道的半长轴越短,公转周期就越小;特别要注意公转与自转的区
别,例如,地球的公转周期为一年,而地球的自转周期为一天。
知识点二 开普勒行星运动定律的应用
1.解决太阳系的行星运动问题,地球公转周期是一个很重要的隐含条件,可以直
接利用。
2.公式 对于同一中心天体的不同行星,k的数值相同,对于不同的中心天
体的行星,k的数值不同。
3.公式 常常用于比较不同行星的周期或半径。
【问题探究】
行星绕太阳运动中的 中k值只与太阳有关,卫星绕地球运动中的
中k′值是否只与地球有关
提示:是。
【典例示范】
【典例】二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道,春分为太阳从南回归线回到赤道,秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2020年3月20日为春分,9月22日为秋分,可以推算从春分到秋分为186天,而从秋分到春分则为180天。关于上述自然现象,下列说法正确的是(设两段时间内地球公转的轨迹长度相等) ( )
A.从春分到秋分地球离太阳远
B.从秋分到春分地球离太阳远
C.夏天地球离太阳近
D.冬天地球离太阳远
【解析】选A。由v= ,两段时间内地球公转的轨迹长度相等,可知时间长说明
速度小,依据开普勒定律,速度小说明离太阳远,故A正确,B错误;我国是北半球,
我国冬季时地球离太阳近,而夏季时离太阳远,故C、D错误,故选A。
【素养训练】
1.中国科幻电影《流浪地球》热播。影片中为了让地球逃离太阳系,人们在地球上建造特大功率发动机,使地球完成一系列变轨操作。地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨,进入椭圆轨道Ⅱ,在椭圆轨道Ⅱ上运行到B点,……,最终摆脱太阳束缚。对于该逃离过程,下列轨道示意图可能正确的是( )
【解析】选A。根据开普勒第一定律可得,太阳在椭圆轨道的一个焦点上,由题意可知B点是椭圆轨道的远日点,地球在做离心运动,故选A。
2.为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍,另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍,P与Q的周期之比约为 ( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
【解析】选C。据开普勒第三定律 故选C。
3.地球的公转轨道接近圆,哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。已知哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍,由此可知 ( )
A.地球质量与哈雷彗星质量之比为18∶1
B.地球的公转周期与哈雷彗星的公转周期之比为1∶
C.由椭圆的对称性,哈雷彗星在近日点和远日点的速率相等
D.地球绕太阳转,月球绕地球转,它们的 是一样的
【解析】选B。因为哈雷彗星的轨道不是圆周,无法使用向心力方程,只能通过
开普勒定律进行求解,所以无法求得质量关系,故A错误;根据开普勒第三定律得:
,解得: 故B正确;根据开普勒第二定律可知,哈雷彗星在近日
点的速率大于在远日点的速率,选项C错误; 地球绕太阳转,月球绕地球转,它们
的中心天体不同,则 是不一样的,选项D错误。
【拓展例题】考查内容:开普勒第三定律与图像综合问题
【典例】太阳系中的八大行星的轨道均可视为圆轨道。下列4幅图是用来描述
这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是 ,纵轴是
;这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径,T0和R0分别
是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是 ( )
【解析】选B。根据开普勒第三定律:周期平方与轨道半径三次方成正比可
知:R3=kT2, ,两式相除后取对数,得: 整理得:
故选项B正确,选项A、C、D错误。
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.下列说法符合史实的是 ( )
A.伽利略最早提出了“日心说”
B.开普勒发现了万有引力定律
C.卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量
D.第谷发现行星的运动轨迹是椭圆
【解析】选C。哥白尼最早提出的“日心说”,故A错误。牛顿发现万有引力定律,故B错误。牛顿发现万有引力定律之后,卡文迪许第一次在实验室里测出万有引力常量,所以C正确。开普勒对行星运动规律进行了总结,发现了开普勒三定律,开普勒第一定律就是行星的轨道是一个椭圆,太阳位于其中一个焦点上,故D错误。
2.如图所示,一颗卫星绕地球做椭圆运动,运动周期为T,图中虚线为卫星的运行
轨迹,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,其中A距离地球最近,C距离地球最远。B
和D点是弧线ABC和ADC的中点,下列说法正确的是 ( )
A.卫星在C点的速度最大
B.卫星在C点的加速度最大
C.卫星从A经D到C点的运动时间为
D.卫星从B经A到D点的运动时间为
【解析】选C。卫星绕地球做椭圆运动,类似于行星绕太阳运转,根据开普勒第
二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,则知卫星与地球的连
线在相等时间内扫过的面积相等,所以卫星在距离地球最近的A点速度最大,在
距离地球最远的C点速度最小,卫星在B、D两点的速度大小相等,故A错误。在椭
圆的各个点上都是引力产生加速度a= ,因A点的距离最小,则A点的加速度
最大,故B错误。根据椭圆运动的对称性可知tADC+tCBA=T,则tADC= ,故C正确。
椭圆上近地点A附近速度较大,远地点C附近速度较小,则tBAD< ,tDCB> ,故D
错误。
【加固训练】
如图所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图,下列说法正确的是 ( )
A.速度最大点是B点
B.速度最小点是C点
C.m从A到B做减速运动
D.m从B到A做减速运动
【解析】选C。根据开普勒第二定律知:在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。据此,行星运行在近日点时,与太阳连线距离短,故运行速度大,在远日点,太阳与行星连线长,故运行速度小。即在行星运动中,远日点的速度最小,近日点的速度最大。图中A点为近日点,所以速度最大,B点为远日点,所以速度最小。故A、B错误;所以m从A到B做减速运动,故C正确,D错误。
3.宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动,如果该轨道半径是地球绕太阳
轨道半长轴的9倍,那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是 ( )
A.3年 B.9年 C.27年 D.81年
【解析】选C。根据开普勒第三定律,有: =k知:T2= ;宇宙飞船围绕太阳在
近似圆形的轨道上运动,若轨道半径是地球轨道半长轴的9倍,宇宙飞船绕太阳
运行的周期是地球公转周期的27倍,即宇宙飞船绕太阳运行的周期是27年,则C
正确,A、B、D错误。
4.月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍,运行周期约为27天,应用开普勒定律计算:在赤道平面内离地多高时,人造地球卫星随地球一起转动,就像停留在天空中不动一样 (R地=6 400 km)
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)人造地球卫星随地球一起转动的周期为T=1天。
(2)月球与人造地球卫星都绕地球运动,满足开普勒第三定律。
【解析】月球和人造卫星都环绕地球运动,故可用开普勒第三定律求解。设人
造地球卫星轨道半径为R,周期为T,知月球轨道半径为60R地,周期为T0,则有:
整理得:
R= ×60R地= ×60R地=6.67R地
卫星离地高度H=R-R地=5.67R地=5.67×6 400 km=3.63×104 km。
答案:3.63×104 km
5.天文学家观察到哈雷彗星的转动周期是75年,离太阳最近的距离是8.9×
1010 m,离太阳最远的距离不能被测出。试根据开普勒定律估算这个最远距离。(太阳系的开普勒常数k=3.354×1018 m3/s2)
【解析】哈雷彗星运行的半长轴
a= ,
由开普勒第三定律 =k,
联立得l2=2a-l1=2 -l1,
代入数值解得,l2=5.226×1012 m
答案:5.226×1012 m(共42张PPT)
2.万有引力定律
必备知识·自主学习
一、与引力有关现象的思考
【情境思考】
行星为什么能够绕太阳运转而不会飞离太阳 苹果为什么会落向地面
提示:存在引力。
1.苹果落地原因:苹果受到___________。
2.月球绕地球做圆周运动原因:受到___________________。
3.行星绕太阳运动的向心力是___________________。
地球吸引力
地球对月球的吸引力
太阳对行星的吸引力
二、万有引力定律
【情境思考】
行星绕太阳运动,行星所受太阳的引力遵循什么规律
提示:万有引力定律。
1.太阳与行星间引力的推导:
(1)太阳对行星的引力:F∝____。
(2)行星对太阳的引力:F′∝ ____ 。
(3)总结F与F′的关系:F=F′∝ ____ 。
2.万有引力定律:
(1)内容:任何两个物体之间都存在相互作用的_____,引力的大小与这两个物体
的质量的乘积成_____,与这两个物体之间的距离的平方成_____。
(2)表达式:F=__________。
(3)引力常量G:由英国物理学家卡文迪许测量得出,常取G=____________N·m2
/kg2。
引力
正比
反比
6.67×10-11
三、引力常量的测定
【情境思考】
卡文迪许测量G用到了什么方法
提示:放大法。
1.测定:在1798年,英国物理学家_________利用_____实验,比较精确地测出了
引力常量。
2.数值:国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为
__________________________,通常可以取______________________。
3.意义:使_____________能进行定量计算,显示出其真正的实用价值。
卡文迪许
扭秤
G=6.672 10×10-11 N·m2/kg2
G=6.67×10-11 N·m2/kg2
万有引力定律
关键能力·合作学习
知识点一 万有引力定律的含义和应用
任务1 万有引力定律的含义
1.公式的适用条件:严格说F= 只适用于计算两个质点间的万有引力,但
对于下述几种情况,也可用该公式计算。
(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力,可用公式计算,此时r是两个球体球心
的距离。
(2)一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力,可用公式计算,r为球
心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,公式也适用。
2.万有引力的特性:
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力,它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力,符合牛顿第三定律
宏观性 通常情况下,万有引力非常小,只有在质量巨大的天体间或天体与物体间,它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中,粒子的质量都非常小,粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性 两个物体间的万有引力,只与它们本身的质量、它们之间的距离有关,和所在空间的性质无关,和周围有无其他物体的存在无关
【问题探究】
李华认为两个人距离非常近时,根据公式F= 得出:r→0时,F→∞。李华
同学的想法正确吗
提示:不正确。当两个人的距离趋向于0时,就不能再被看成质点,故万有引力公
式不再适用。
【典例示范】
【典例1】 对于万有引力定律的表达式F= ,下面
说法正确的是 ( )
A.公式中G为引力常量,它是由实验测得的,而不是人为规定的
B.当r趋近于零时,万有引力趋于无穷大
C.对于m1与m2间的万有引力,质量大的受到的引力大
D.m1与m2受到的引力是一对平衡力
【解析】选A。万有引力定律的表达式F= ,公式中G为引力常量,它是由
实验测得的,而不是人为规定的,选项A正确;当r趋近于零时,万有引力定律不再
适用,选项B错误;m1与m2间的万有引力是相互作用力,两物体受到的引力是等大
反向的,与质量大小无关,选项C错误;m1与m2受到的引力是一对相互作用力,因作
用在两个物体上,故不是平衡力,选项D错误,故选A。
任务2 万有引力定律的简单应用
1.一般物体间的万有引力是极小的,受力分析时可以忽略。
2.任何两个物体间都存在着万有引力,只有质点间或能看成质点的物体间的引
力才可以应用公式F= 计算其大小。
【典例示范】
【典例2】 火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球
半径的 ，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
【解析】选B。物体在地球表面受到的引力 ，在火星表面受到的引力
，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引
力的比值 =0.4，故选项B正确，A、C、D错误。
【素养训练】
1.两个质点相距r时,它们之间的万有引力为F,若它们间
的距离缩短为 ,其中一个质点的质量变为原来的2倍,另一质点质量保持不变,
则它们之问的万有引力为 ( )
A.2F B.4F C.8F D.16F
【解析】选C。两个质点相距r时,它们之间的万有引力为F= 若它们间的
距离缩短为 r,其中一个质点的质量变为原来的2倍,则它们之间的万有引力为
F′= =8F。故选C。
2.如图所示,质量分布均匀的实心球,其质量为M,半径为R。现在将它的左侧挖
去一个半径为r= 的球体,则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点
的引力与挖去前对质点的引力之比为 ( )
【解析】选B。根据m=ρV=ρ πr3知,挖去部分的半径是球半径的一半,则质量
是球体质量的 ,所以挖去部分的质量M′= M,没挖之前,球体对m的万有引力
F1=G ,挖去部分对m的万有引力F2= 则剩余部分对质点的引
力大小F=F1-F2= ,则 故B正确。
3.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的 ( )
A.0.25倍 B.0.5倍 C.2.0倍 D.4.0倍
【解析】选C。 本题选C。
【加固训练】
关于万有引力,下列说法中正确的是 ( )
A.万有引力只有在研究天体与天体之间的作用时才有价值
B.由于一个苹果的质量很小,所以地球对它的万有引力几乎可以忽略
C.地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D.地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近
【解析】选D。由万有引力定律知D正确;万有引力定律不但在天体之间有价值,在天体与物体间也有价值,如重力,故A、B错误;由牛顿第三定律知C错误。
知识点二 万有引力与重力的关系
任务1 万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系:如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质
量为m,则物体受到地球的吸引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得
引力F可分解为两个分力,其中一个分力为物体随地球自转做圆周运
动的向心力Fn,另一个分力就是物体的重力mg。
2.重力与纬度的关系:地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上:重力和向心力在一条直线上F=Fn+mg,即 =mrω2+mg,所以mg=
-mrω2。
(2)地球两极处:向心力为零,所以mg=F= 。
(3)其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg< ,重力的方向
偏离地心。
3.重力与高度的关系:由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小,
一般情况下认为在地面附近:mg= ,若距离地面的高度为h,则
(R为地球半径,g为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高,物体的重
力加速度越小,则物体所受的重力也越小。
【问题探究】
我们经常说重力的方向竖直向下,能否说重力的方向指向地心
提示:不能。
【典例示范】
【典例1】第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案,解决了覆盖全球
的问题。它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星组成的卫星群构成,中轨道卫星离
地面的高度约为地球半径的2倍,分布在几个轨道平面上(与赤道平面均有一定
的夹角)。若地球表面处的重力加速度为g,则中轨道卫星的轨道处受地球引力
产生的重力加速度约为 ( )
A. B.4g C. D.9g
【解析】选C。由于地球表面处的重力加速度为g,则mg= ;设中轨道卫星的
轨道处受地球引力产生的重力加速度为g′,则mg′= ;联立二式解得g′=
,故C正确。
任务2 万有引力与重力的关系的应用
1.地面附近的物体:由于地球自转角速度很小,物体转动需要的向心力很小,一
般情况下,认为重力约等于万有引力,mg=
2.离地面h高度处的物体:离地面h高度处的物体也受地球自转的影响,同地面附
近的物体一样,一般情况下,认为重力约等于万有引力,
3.地球的卫星:对于地球的卫星,不受地球自转影响,所受重力等于万有引力,即
(r是卫星的轨道半径)。
【典例示范】
【典例2】地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响,在距地面高度为h的
空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍 已知地球半径为R。
【解析】不计地球自转的影响,物体受到的重力等于物体受到的万有引力。设
地球质量为M,物体质量为m,则地面: h高处:
解得:
答案: 倍
【素养训练】
1.宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完
全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径
为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为 ( )
A.0 B.
C. D.
【解析】选B。对飞船受力分析知,所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心
力,等于飞船所在位置的重力,即 =mg,可得飞船所在处的重力加速度为
g= ,故选B。
2.在地球上不同的地方,重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分
布均匀的球体,已知地球半径为R,地球自转的周期为T,则地球两极处的重力加
速度与赤道处的重力加速度之差为 ( )
【解析】选D。在两极: =mg1;在赤道上: -mg2=m( )2R,则Δg=g1-
g2= ,故选D。
【拓展例题】考查内容:万有引力定律与抛体运动知识的综合
【典例】宇航员站在某一星球,从距离星球表面h高度处,以初速度v0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t后小球落到星球表面,已知该星球的半径为R,引力常量为G,求:
(1)该星球表面重力加速度g的大小。
(2)该星球的质量。
【解析】(1)由平抛运动的知识知,在竖直方向小球做自由落体运动,h= gt2
所以g= 。
(2)在星球表面,物体的重力和所受的万有引力相等。故有:mg=
所以M=
答案:
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.树上的苹果落向地球,针对这一现象,以下说法正确的是 ( )
A.由于苹果质量小,对地球的引力小,而地球质量大,对苹果引力大
B.由地球对苹果有引力,而苹果对地球无引力造成的
C.苹果对地球的引力大小和地球对苹果的引力大小是相等的
D.以上说法都不对
【解析】选C。地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力,大小相等,方向相反。故C正确,A、B、D错误,故选C。
2.关于卡文迪许及其扭秤装置,下列说法中错误的是 ( )
A.帮助牛顿发现万有引力定律
B.首次测出万有引力常量的数值
C.被誉为“第一个称出地球质量的人”
D.证实了万有引力的存在
【解析】选A。牛顿发现万有引力定律没有用到卡文迪许实验,选项A错误,符合题意;卡文迪许首次测出万有引力常量的数值,选项B正确,不符合题意;卡文迪许首次测出万有引力常量的数值后,被誉为“第一个称出地球质量的人”,选项C正确,不符合题意;卡文迪许扭秤装置证实了万有引力的存在,选项D正确,不符合题意。
3.随着我国航天事业的不断发展,未来某一天,我国宇航员降落在某星球上,测
得该星球表面的重力加速度为g′。已知该星球半径为R,万有引力常量为G,忽
略该星球自转造成的影响,则该星球的质量为 ( )
【解析】选A。忽略星球自转,mg′= ,所以M= ,A正确,B、C、D错
误。
4.火星的质量和半径分别约为地球的 ,地球表面的重力加速度为g,则火
星表面的重力加速度约为 ( )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
【解析】选B。根据星球表面的万有引力等于重力列出等式表示出重力加速
度。通过火星的质量和半径与地球的关系找出重力加速度的关系。根据星球表
面的万有引力等于重力知道 =mg得出:g= 火星的质量和半径分别约为
地球的 ,所以火星表面的重力加速度g′= =0.4g,故选B。
5.如图所示,火箭内平台上放有质量为m的测试仪器,火
箭从地面启动后,以加速度 竖直向上做匀加速运动,升到某一高度时,测试仪
器对平台的压力为刚离开地面时压力的 。已知地球半径为 R,g为地面附近的
重力加速度,下列说法正确的是 ( )
A.上升过程中测试仪器处于失重状态
B.上升过程中重力对测试仪器做正功
C.此时测试仪器对平台的压为 mg
D.此时火箭离地高度为 R
【解析】选D。火箭向上加速运动具有竖直向上的加速度,则火箭中的测试仪器
处于超重状态,A错误。上升过程测试仪器所受重力与位移方向相反,故重力做
负功,B错误。对高度为h处的测试仪器由牛顿第二定律N′-mg′=m ,而刚离开
地面时N-mg=m ,N′= ,联立可得g′= ,N′= mg,故C错误。由万有引力
等于重力可得mg′= ,联立解得h=R,则D正确。故选D。
6.“嫦娥四号”着陆器与“玉兔二号”巡视器正常工作。已知“玉兔二号”巡视器的一个探测器在地球表面时重16 N,“嫦娥四号”在西昌卫星发射中心发射时,探测器在以5 m/s2的加速度加速上升的“长征三号乙”火箭中的视重为9 N,则此时“长征三号乙”火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍 (g取10 m/s2)
【解析】根据题意知物体的质量为1.6 kg。在地球表面时有 =16 N①
设离地面高度为h,此时的重力加速度为g′,
根据牛顿第二定律有9 N-mg′=ma
解得g′= m/s2。
此时有 ②
由①②解得h=3R。
答案:3倍