人教版数学八年级下册17.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件 (共20张PPT)

(共21张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
【学习目标】
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决问题.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
【学习重点】
勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理.
【学习难点】
勾股定理逆定理的证明.
B
C
A
1.勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4
② a＝2.5，b＝6
③ a＝4，b＝7.5
c=5
c=6.5
c=8.5
3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？
新知探究
　据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
相传，大禹治水
时也用这类似的
方法确定直角.
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
合作探究
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 .
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
猜 想:
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
验证:
合作探究
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
∴∠C= ∠C′=900 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
新知探究
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
典例精析
(3) a=1 ， b=2 ， c= ;
(4) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为
(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
典例精析
勾股数：
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；
10，24，26；等等
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数
新知探究
互逆命题与互逆定理
观察与思考：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
观察下列命题，它们之间有什么联系与区别？
命题1与命题2的条件与结论正好相反.
命题1与命题2的条件和结论分别什么？
新知探究
题设与结论正好_____的两个命题叫做______命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 __________.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是______________，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
相反
互逆
正确的
逆命题
新知探究
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
⑴两条直线平行，内错角相等；
⑵如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
⑶全等三角形的对应角相等；
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立
对应角相等的三角形全等 . 不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立
新知探究
1.小颖要求△ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（ ）
A. 5 B. 0.48 C. 4.8 D.48
C
随堂练习
2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=900；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
3. 一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为
.
6m,8cm,10cm
直角三角形
4. 命题：对顶角相等，其逆命题是： .
相等的角是对顶角
5.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积.
解：延长AD并在截取DE=AD,
即△ABC的面积是6.
E
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾反思
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结