7.4.1 二项分布 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共19张PPT)

(共19张PPT)
【选择性必修第三册】
7.4.1 二项分布
复习回顾本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B) =P(A) +P(B) (当A与B互斥时);(3)P(AB) =P(A)·P(B) (当A与B相互独立时).前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？(2)P(B|A) = ;(1)同一个伯努利试验重复做n次;一、伯努利试验在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币具有相同的特征,它们只包含两个可能结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检验结果为阳性或阴性等.n重伯努利试验具有如下共同特征：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)各次试验的结果相互独立.“重复”意味着各次试验的条件相同,试验成功的概率也相同. 思考下面3个问题,问题中的伯努利试验是什么 定义 “成功”的事件为A, 那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少 各次实验是否独立 关注的随机变量是什么？
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,求恰有4次正面向上的概率
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8, 连续射击3次,求恰有2次中靶的概率
(3)一批产品的次品率为5%, 有放回地随机抽取20件,求恰有5件次品的概率
随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 关注的随机变量X
(1)
(2)
(3)
掷硬币
正面朝上
0.5
10
是
正面朝上的次数
射击
中靶
0.8
3
是
中靶的次数
有放回抽产品
抽到次品
0.05
20
是
抽到次品的件数
用Ai表示 “第i次射击中靶” (i=1, 2, 3),则X的分布列为
二、二项分布
探究:某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8, 连续3次射击, 中靶次数X的概率分布列是怎样的？
P(X=1)
P(X=0)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
于是,中靶次数X的分布列为
P(X=k) = ×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3).
共6个.(2)中靶次数X的分布列为思考:如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.(1)表示中靶次数X等于2的结果有：即P(X=k)= ×0.8k×0.24-k,(k=0, 1, 2, 3, 4).二、二项分布中靶次数X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution),记作X~B(n,p).= [(1-p)+p]n= 1.一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为思考:对比二项分布与二项式定理,你能看出它们之间的联系吗？由二项式定理,易得P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …,n).如果把p看成是b, 1-p看成是a,则pk(1-p)n-k就是二项式[(1-p)+p]n的展开式的通项,故称为二项分布.二、二项分布注意事项：(1)一般含有“恰好” “恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型.(2)判断一个随机变量X是否服从二项分布,关键有两点：一是对立性,即一次试验中,事件A的发生与否两者必居其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution),记作X~B(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …,n).二、二项分布例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求：(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6,于是(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.解:设A= “正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10, 0.5).(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是P(X=5)= ×0.55×(1-0.5)5= ×0.510P(4≤X≤6)=×0.510+×0.510+×0.5102. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求：
(1)没有鸡感染病毒的概率;
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解：
(1)同一个伯努利试验重复做n次;n重伯努利试验具有如下共同特征：伯努利试验---只包含两个可能结果的试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)各次试验的结果相互独立.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为二点分布是特殊的二项分布.P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …,n).例2图7.4-2是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0, 1, 2, …, 10.用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次,所以X~B(10, 0.5).因为于是, X的分布列为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数,P(X=k)= ×0.510, (k=0, 1, 2, …, 10).解：设A= “向右下落”,则= “向左下落”,且P(A)=P( )=0.5.X的概率分布图例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制, 甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1, 前者是前两局比赛全胜, 后者是前两局甲、乙各用一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
= 0.648.
类似地, 采用5局3胜制, 甲最终获胜有3种比分3:0或3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
p1 = 0.62+[ ×0.61×(1-0.6)1]×0.6
= 0.62+ ×0.62×0.4
p2=0.63+ ×0.63×0.4+ ×0.63×0.42 = 0.68256.
= 0.68256.p1=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X表示5局比赛中甲获胜的局数,则X~B(5, 0.6).甲最终获胜的概率为因为p2>p1,所以采用5局3胜制对甲更有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？解法2：采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲获胜的局数,则X~B(3, 0.6).甲最终获胜的概率为= 0.648.p1=P(X=2)+P(X=3)= ×0.62×0.4+ ×0.63= ×0.63×0.42+ ×0.64×0.41+ ×0.65思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率.一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p).3.判断下列表述正确与否,并说明理由:解: (1)正确.每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12, 0.25).(1) 12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(12, 0.25);(2)错误.每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不是二项分布.(2) 100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中次品数Y~B(6, 0.1).三、二项分布的均值与方差
探究:假设随机变量X服从二项分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么？
从简单开始, 先考察n较小的情况.
(1)当n=1时, X服从两点分布, 分布列为
P(X=0)=1-p, P(X=1)=p.
均值和方差分别为
E(X)=p, D(X)=p(1-p).
(2)当n=2时, X的分布列为
P(X=0)=(1-p)2, P(X=1)=2p(1-p), P(X=2)=p2.
E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2 =2p.
D(X)= 02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2 -(2p)2=2p(1-p).
均值和方差分别为
一般地, 可以证明：
如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
下面对均值进行证明.
证明：
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次, X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)E(X)=___,D(X)= _____.解：如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为二点分布是特殊的二项分布.一、二项分布二、二项分布的均值与方差如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …,n).