北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（1）（word版含答案）

北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（1）
一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）
1．（3分）等边三角形的一个角是（　　）
A．30° B．60° C．45° D．90°
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝4，△AOB是等边三角形，则AD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
3．（3分）若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（　　）
A．24° B．34° C．44° D．46°
4．（3分）如图所示，BE，CD是△ABC的两条高，F为BC的中点．那△DEF是（　　）
A．不等边三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．形状不能确定
5．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝2，则AB的长为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．7.5
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s B．4s C．4.5s D．5s
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
7．（3分）三个角都相等的三角形是　 　三角形．
8．（3分）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为　 　．
9．（3分）直角三角形中一个锐角为30°，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为　 　cm．
10．（3分）△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，则BC＝　 　．
11．（3分）Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝　 　cm．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　 　．
13．（3分）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有　 　个．
14．（3分）如图，直角△ABC中∠C＝90°，斜边AB＝10cm，∠A＝30°，则BC＝　 　cm，AB边上的中线＝　 　cm．
三、解答题（本题共计7小题，共计58分，）
15．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠BAC≠90°，∠ABC＝2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线于D，试说明DC＝2AB．
16．（8分）如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CM是高，∠B＝30°．求证：AM＝AB．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，连接AD，△ABD和△ACD都是等腰三角形，求∠C的度数．（画出图形，写出必要的推理计算过程．）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：∠BCD＝∠A．
21．（10分）李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE＝CG，而PD＝GF，则PD+PE＝CF．
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：
（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值；
（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．
北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）
1．（3分）等边三角形的一个角是（　　）
A．30° B．60° C．45° D．90°
【解答】解：等边三角形的一个角的度数是60°，
故选：B．
2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝4，△AOB是等边三角形，则AD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，OA＝OC＝AC＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝BC＝2；
故选：D．
3．（3分）若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（　　）
A．24° B．34° C．44° D．46°
【解答】解：∵两个锐角和是90°，
∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，
设一个锐角为x，则另一个锐角为90°﹣x，
得：90°﹣x﹣x＝22°，
得：x＝34°．
故选：B．
4．（3分）如图所示，BE，CD是△ABC的两条高，F为BC的中点．那△DEF是（　　）
A．不等边三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．形状不能确定
【解答】解：∵BE，CD是△ABC的两条高，F为BC的中点，
∴在△BCD中，DF＝BC，
在△BCE中，EF＝BC，
∴DF＝EF，
∴△DEF是等腰三角形．
故选：B．
5．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝2，则AB的长为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．7.5
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°
在Rt△CDE中，∠CDE＝90°﹣∠C＝30°，
∵EC＝2，
∴CD＝2EC＝4，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝BC
∴AD＝CD＝4，
∴AB＝AC＝AD+CD＝8．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s B．4s C．4.5s D．5s
【解答】解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，
∵∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
∴20﹣3t＝2t，
解得t＝4，
故选：B．
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
7．（3分）三个角都相等的三角形是　等边　三角形．
【解答】解：等边三角形，
理由是：
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
8．（3分）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为　30°　．
【解答】解：∵直角三角形的一锐角为60°，
∴另一锐角为90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
9．（3分）直角三角形中一个锐角为30°，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为　8　cm．
【解答】解：如图，
∵Rt△ABC的∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AB+AC＝12，
∴2AC+AC＝12，
解得AC＝4cm，
AB＝2×4＝8cm．
故答案为8．
10．（3分）△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，则BC＝　9或13　．
【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得或，
解得或，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故答案为：9或13．
11．（3分）Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝　8　cm．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝4cm，
∴AB＝8cm，
故答案为：8．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　80°或140°或10°　．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
13．（3分）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有　2　个．
【解答】解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；
②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；
④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．
所以正确的结论是②④．
故答案为2．
14．（3分）如图，直角△ABC中∠C＝90°，斜边AB＝10cm，∠A＝30°，则BC＝　5　cm，AB边上的中线＝　5　cm．
【解答】解：如图，∵直角△ABC中∠C＝90°，斜边AB＝10cm，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝5cm，AB边上的中线＝AB＝5cm，
故答案是：5；5．
三、解答题（本题共计7小题，共计58分，）
15．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠BAC≠90°，∠ABC＝2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线于D，试说明DC＝2AB．
【解答】解：作△ACD的边CD上的中线AE，交CD于点E，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴AE＝CE＝DE，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE，
∴∠AEB＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴DC＝2AB．
16．（8分）如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．
【解答】解：△AEC是等腰三角形．
理由如下：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3，即∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE．
即△AEC是等腰三角形．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CM是高，∠B＝30°．求证：AM＝AB．
【解答】证明：如图，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CM是高，∠B＝30°，
∴∠ACM＝∠B＝30°，AC＝AB，
∴AM＝AC，
∴AM＝AB．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，连接AD，△ABD和△ACD都是等腰三角形，求∠C的度数．（画出图形，写出必要的推理计算过程．）
【解答】解：应分两种情况：
①如图：AD＝BD，DC＝AD，
则△BAC是等腰直角三角形，
△ADB和△ADC是等腰三角形，∠C＝∠B＝45°；
②如图：∵AB＝BD，CD＝AD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C，
∵∠BAD+∠ADB+∠B＝180°，
∴5∠C＝180°，
即∠C＝36°；
即∠C的度数是36°或45°
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：∠BCD＝∠A．
【解答】证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠A＝∠BCD（同角的余角相等）．
21．（10分）李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE＝CG，而PD＝GF，则PD+PE＝CF．
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：
（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值；
（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．
【解答】解：（1）如图3，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∵PG⊥BE、PH⊥BC，
∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE PG+BF PH＝BF（PG+PH），
∵S△BEF＝BF EQ，
∴PG+PH＝EQ，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．
∵AD＝16，CF＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝10．
由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，
∴C'F＝CF＝6，
∴C'B＝AB＝EQ＝8；
（2）过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图4所示：
∵△ABC为等边三角形的边长为6，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝6，BM＝3，
根据勾股定理得：AM＝3
又∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP
＝PE BC+PF AC+PD AB＝AB（PE+PF+PD）＝BC AM，
∴（PE+PF+PD）＝AM＝3．
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