北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（2）（word含答案）

北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（2）
一．选择题
1．（3分）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（　　）
A．40° B．55° C．65° D．70°
2．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
3．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
9．（3分）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点D B．点C C．点B D．点A
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE＝BF；②BD2+CE2＝DE2；③；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
二、填空。
11．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　 　．
12．（3分）如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 　 　．
13．（3分）如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是　 　（填上你认为适当的一个条件即可）．
14．（3分）如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为　 　；若添加条件AC＝EC，则可以用　 　公理（或定理）判定全等．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．
三．解答题
16．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
17．（11分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．
18．（11分）如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN＝34°，求∠BAC的度数．
19．（11分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
20．（11分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝　 　，AE＝　 　；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（　　）
A．40° B．55° C．65° D．70°
【解答】解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；
当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；
当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；
即∠C的度数可以是70°或40°或55°，
故选：C．
2．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【解答】解：设∠C＝x．
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB＝45°+x，
在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，
∴45°+45°+x+2x＝180°，
∴x＝30°，
∵∠EDC＝90°，DE＝2，
∴AE＝EC＝2DE＝4，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝6，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝12，
∴AB＝AC＝12，
故选：B．
4．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，
∴∠B＝30°．
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD．
∴∠DCB＝∠B＝30°．
又∵DE⊥BC于E，
∴∠BDE＝∠CDE＝60°．
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．
故选：D．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
9．（3分）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点D B．点C C．点B D．点A
【解答】解：观察图象可知△MNP≌△MFD．
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE＝BF；②BD2+CE2＝DE2；③；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【解答】解：①∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∠DAE＝45°，
∴∠CAE＝90°﹣∠DAE﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∠FAB＝90°﹣∠DAE﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠FAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵FB⊥BC，
∴∠FBA＝45°，
∴△AFB≌△AEC，
∴CE＝BF，故①正确，
②：由①中证明△AFB≌△AEC，
∴AF＝AE，
∵∠DAE＝45°，FA⊥AE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
∴△AFD≌△AED，
连接FD，
∵FB＝CE，
∴FB2+BD2＝FD2＝DE2，故②正确，
③：如图，设AD与EF的交点为G，
∵∠FAD＝∠EAD＝45°，AF＝AE，
∴AD⊥EF，EF＝2EG，
∴S△ADE＝ AD EG＝＝，
故③正确，
④：∵FB2+BE2＝EF2，CE＝BF，
∴CE2+BE2＝EF2，
在RT△AEF中，AF＝AE，
AF2+AE2＝EF2，
∴EF2＝2AE2，
∴CE2+BE2＝2AE2，故④正确．
故选：A．
二、填空。
11．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　50°或130°　．
【解答】解：①当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，
所以三角形的顶角为130°．
故答案为50°或130°．
12．（3分）如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 　45°　．
【解答】解：如图，连接AC．
根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，
∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
13．（3分）如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是　∠B＝∠C　（填上你认为适当的一个条件即可）．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠AEC，
又 AE公共，
∴当∠B＝∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
或BE＝CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
或∠BAE＝∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
14．（3分）如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为　BC＝DC　；若添加条件AC＝EC，则可以用　HL　公理（或定理）判定全等．
【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，
∴ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°；
①又∵AB＝ED，
∴在△ABC和△EDC中，
当BC＝DC时，
△ABC≌△EDC（SAS）；
②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案分别是：BC＝DC、HL．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　13　．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
三．解答题
16．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠F，
∴AE＝FE．
17．（11分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．
【解答】证明：∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D，
设∠B＝∠D＝α，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∴∠BAD＝2∠ACB．
18．（11分）如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN＝34°，求∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝2∠BAE，∠ANB＝∠CAN+∠C＝2∠CAN，
∵∠EAN＝34°，
∴∠AEN+∠ANE＝180°﹣∠EAN＝146°，
∵∠AEN＝180°﹣2∠BAE，∠ANE＝180°﹣2∠CAN，
∴180°﹣2∠BAE+180°﹣2∠CAN＝146°，
∴∠B+∠C＝107°，
∴∠BAC＝180°﹣107°＝73°．
19．（11分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
20．（11分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝　75°　，AE＝　　；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
【解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝AC，
∴x+2＝x，
解得x＝+1，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝，
∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠CPD＝75°．
故答案为75°，．
（2）证明：如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．
∵CF⊥AB，CT⊥DF，∠CFD＝45°，
∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，
∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，
∴CE＝ET，
∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠CAT＝∠FCD，
∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，
∴△ACT≌△CDF（AAS），
∴AT＝CF，
∵ET＝CE，
∴AE＝EF．
解法二：过点D做DH⊥CE于点H，证明AE＝CH，EF＝CH即可．
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