北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（3）（word版含答案）

北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（3）
一．选择题
1．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（　　）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
2．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．3 D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二．填空题
11．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是　 　．
12．（3分）等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝　 　°．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　 　度．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD．若BC＝5，CD＝3，则AC＝　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝　 　．
16．（3分）如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝　 　．
三．解答题
17．（13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
18．（13分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．
19．（13分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
20．（13分）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（　　）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
【解答】解：∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
2．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【解答】解：设∠C＝x．
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB＝45°+x，
在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，
∴45°+45°+x+2x＝180°，
∴x＝30°，
∵∠EDC＝90°，DE＝2，
∴AE＝EC＝2DE＝4，
故选：D．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
4．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C，
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．3 D．
【解答】解：∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，
AN＝BN，AQ＝CQ，
∴∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，
∴∠ANQ＝∠B+∠BAN＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝60°，
∴∠NAQ＝90°，
∴BN＝AN＝NQ，AQ＝CQ＝NQ，
∵BC＝，
∴NQ+NQ+NQ＝3+，
∴NQ＝2，
∴AN＝，AQ＝1，
∴阴影部分的面积＝AN AQ＝＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
二．填空题
11．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是　25°　．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠A＝50°．
∴∠C＝∠ABC＝＝＝65°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
12．（3分）等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝　80　°．
【解答】解：设∠B＝x°，
当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4x+x+4x＝180，
解得x＝20，
∴∠C＝80°
故答案为：80．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　20　度．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD．若BC＝5，CD＝3，则AC＝　　．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝　4.6　．
【解答】解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DAE＝60°
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°
∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC
∴△ADC≌△BFC（SAS）
∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°
∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF
∴△DCE≌△FCE（SAS）
∴DE＝EF
∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，
故答案为4.6．
16．（3分）如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝　120°　．
【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
故答案为：120°．
三．解答题
17．（13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠F，
∴AE＝FE．
18．（13分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．
【解答】证明：∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D，
设∠B＝∠D＝α，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∴∠BAD＝2∠ACB．
19．（13分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB＝AC，OD＝AC，
∴OB＝OD；
（2）解：∵OB＝6，OD＝OB，
∴OD＝6，
∵∠ADC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OD＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴OA＝AC＝6，
即OA＝AD＝OD＝6，
∴△AOD的周长是OA+AD+OD＝6+6+6＝18．
20．（13分）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
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