北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（10）（word版含答案）

北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（10）
一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）
1．（3分）△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（3分）如图，∠MAN＝63°，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（　　）
A．54° B．63° C．117° D．126°
3．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（　　）
A．BD＝AB B．BD＝AB C．BD＝AB D．BD＝AB
4．（3分）如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D．下列结论中正确的是（　　）
A．∠1＝∠A B．∠1+∠B＝90° C．∠2＝∠A D．∠A＝∠B
5．（3分）等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．二条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有斜边对应相等的两个直角三角形全等
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s B．4s C．4.5s D．5s
二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）
8．（3分）边长为a的正三角形的面积等于　 　．
9．（3分）直角三角形中一个锐角为30°，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为　 　cm．
10．（3分）如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 　 　cm．
11．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？　 　．
12．（3分）a，b，c为△ABC的三边，且（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＝0，则△ABC一定是　 　三角形．
13．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝63°，则∠2＝　 　°
14．（3分）等腰三角形的顶角为40°，则其底角为　 　度．
15．（3分）如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　 　；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件　 　．
16．（3分）如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于点E，AC＝3cm，AB＝2cm，则△ADE的周长为　 　cm．
17．（3分）如图，直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝　 　．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分，）
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．
19．在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，点B是y轴上一点，若线段OA＝1，∠ABO＝30°．
（1）则A点的坐标是　 　，B点的坐标是　 　；
（2）以线段AB为边，在平面直角坐标系中作等边△ABC，求出C点坐标．
20．已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
（1）求证：△ACF是等腰三角形；
（2）若CD＝16cm，AD＝8cm，求△ACF的面积．
21．如图，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE＝∠B．
（1）求∠B的度数．
（2）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．
（3）如果AC＝3cm，请直接写出AB的长度（不要求写出解答过程）．
23．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
24．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）如图1，若PQ∥AB，则x的值为　 　（s）．
（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值．
（3）如图3，当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．
北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（10）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）
1．（3分）△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：整理a+2ab＝c+2bc得，
（a﹣c）（1+2b）＝0，
∴a＝c，b＝﹣（舍去），
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
2．（3分）如图，∠MAN＝63°，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（　　）
A．54° B．63° C．117° D．126°
【解答】解：由作图可知BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA＝63°，则∠BCN＝180°﹣∠BCA＝117°，
故选：C．
3．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（　　）
A．BD＝AB B．BD＝AB C．BD＝AB D．BD＝AB
【解答】解：根据题意，
∵CD是高，∠A＝30°，
∴在Rt△ACD中，AD＝CD，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴在Rt△CDB中有CD＝BD，
∴AD＝3BD，
∴AB＝4BD，即BD＝AB．
故选：C．
4．（3分）如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D．下列结论中正确的是（　　）
A．∠1＝∠A B．∠1+∠B＝90° C．∠2＝∠A D．∠A＝∠B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠1+∠A＝90°，∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，
∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确．
故选：C．
5．（3分）等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形
【解答】解：如图，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠C，
∠F＝90°﹣∠B，
∴∠AEF＝∠F．
又∠A＝120°，
∴∠FAE＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
故选：A．
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．二条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有斜边对应相等的两个直角三角形全等
【解答】解：A、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，符合“HL”的条件，故全等；
B、有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形，符合“AAS”的条件，故全等；
C、二条直角边对应相等的两个直角三角形，符合“SAS”的条件，故全等；
D、有斜边对应相等的两个直角三角形，再加上“两直角相等”，条件不够，不符合直角三角形全等的条件，故说法不正确．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s B．4s C．4.5s D．5s
【解答】解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，
∵∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
∴20﹣3t＝2t，
解得t＝4，
故选：B．
二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）
8．（3分）边长为a的正三角形的面积等于　　．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AD⊥BC
∴BD＝CD＝a，
∴AD＝＝a，
面积则是：a a＝a2．
9．（3分）直角三角形中一个锐角为30°，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为　8　cm．
【解答】解：如图，
∵Rt△ABC的∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AB+AC＝12，
∴2AC+AC＝12，
解得AC＝4cm，
AB＝2×4＝8cm．
故答案为8．
10．（3分）如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 　24　cm．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°，
∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°，
∴△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形，
∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm．
故答案为：24．
11．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？　△ABD，△BDC，△ABC　．
【解答】解：∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
12．（3分）a，b，c为△ABC的三边，且（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＝0，则△ABC一定是　等腰　三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0，或a﹣c＝0，或b﹣c＝0．
即a＝b或a＝c或b＝c．
则△ABC一定是等腰三角形．
13．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝63°，则∠2＝　153　°
【解答】解：如图，∵∠1＝63°，
∴∠3＝90°﹣63°＝27°，
∴∠2＝180°﹣27°＝153°．
故答案为：153．
14．（3分）等腰三角形的顶角为40°，则其底角为　70　度．
【解答】解：由题意，得
（180°﹣40°）÷2＝70°
故此等腰三角形的底角为70°．
故填70．
15．（3分）如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　AB＝DC　；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件　AD＝BC　．
【解答】解：（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB＝CD；
∵AC⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC＝90°，∠DCA＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SAS）；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD＝BC；
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
16．（3分）如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于点E，AC＝3cm，AB＝2cm，则△ADE的周长为　4　cm．
【解答】解：∵△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
又∵CD⊥AB，
∴CD是△ABC的中线，
∴AD＝AB＝1cm，
∵DE∥BC，CD平分∠ACB，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠ECD，
∴DE＝CE，
又∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴AE＝CE，即E是AC的中点，
∴Rt△ACD中，DE＝AE＝AC＝cm，
∴△ADE的周长为：1++＝4cm．
故答案为：4．
17．（3分）如图，直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝　1　．
【解答】解：Rt△ABC中，AB＝4，∠A＝30°；
∴BC＝AB＝2；∠B＝90°﹣∠A＝60°．
Rt△BCD中，BC＝2，∠BCD＝90°﹣∠B＝30°；
∴BD＝BC＝1．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分，）
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠B＜∠BAC．
19．在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，点B是y轴上一点，若线段OA＝1，∠ABO＝30°．
（1）则A点的坐标是　（﹣1，0）　，B点的坐标是　（0，）　；
（2）以线段AB为边，在平面直角坐标系中作等边△ABC，求出C点坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝2，
∴OB＝＝＝，
∴A（﹣1，0），B（0，）；
故答案为（﹣1，0），（0，）；
（2）如图，作A点关于y轴的对称点C，
∴OA＝OC＝1，
∴AB＝AC，
而∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，此时C点坐标为（1，0）；
把B点向左平移2个单位得到C′点，则BC′＝BA＝2，
∵BC′∥OA，
∴∠ABC′＝∠BAO＝60°，
∴△ABC′为等边三角形，此时C′点坐标为（﹣2，），
综上所述，C点坐标为（1，0）或（﹣2，）．
20．已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
（1）求证：△ACF是等腰三角形；
（2）若CD＝16cm，AD＝8cm，求△ACF的面积．
【解答】（1）证明：∵将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵长方形ABCD，即DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AF＝CF，
则△ACF为等腰三角形；
（2）解：设DF＝xcm，则AF＝CF＝CD﹣DF＝（16﹣x）cm，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AF2＝AD2+DF2，
即（16﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝6，
∴CF＝16﹣6＝10cm，
则S△ACF＝CF AD＝40cm2．
21．如图，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【解答】证明：如图作等边三角形BDE，连接AE．
∵∠ABD＝∠ADB＝15°，
∴AB＝AD
∵EB＝ED，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SSS），
∴∠AEB＝∠AED＝30°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠EBD＝60°，∠ABD＝15°，
∴∠EBA＝45°＝∠CBD
在△BAE和△BCD中，
∴△BAE≌△BCD（ASA）
∴BA＝BC
∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD
＝15°+45°
＝60°
∴△ABC是等边三角形．
22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE＝∠B．
（1）求∠B的度数．
（2）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．
（3）如果AC＝3cm，请直接写出AB的长度（不要求写出解答过程）．
【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B．
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B＝3∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）猜想：ED⊥AB．理由如下：
∵∠EAB＝∠B，
∴EB＝EA，
∵ED平分∠AEB，
∴ED⊥AB；
（3）∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，
∴AB＝2AC＝6cm．
23．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB＝AC，OD＝AC，
∴OB＝OD；
（2）解：∵OB＝6，OD＝OB，
∴OD＝6，
∵∠ADC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OD＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴OA＝AC＝6，
即OA＝AD＝OD＝6，
∴△AOD的周长是OA+AD+OD＝6+6+6＝18．
24．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）如图1，若PQ∥AB，则x的值为　　（s）．
（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值．
（3）如图3，当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠C＝60°，
∴当PC＝CQ时，△PQC为等边三角形，
于是∠QPC＝60°＝∠B，
从而PQ∥AB，
∵PC＝4﹣x，CQ＝2x，
由4﹣x＝2x，
解得：x＝，
∴当x＝时，PQ∥AB；
故答案为：．
（2）∵PQ⊥AC，∠C＝60°，
∴∠QPC＝30°，
∴CQ＝PC，
即2x＝（4﹣x），
解得：x＝；
（3）OQ＝PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如图3，
∵AD⊥BC，
∴∠QAH＝30°，BD＝BC＝2，
∴QH＝AQ＝（2x﹣4）＝x﹣2，
∵DP＝BP﹣BD＝x﹣2，
∴QH＝DP，
在△OQH和△OPD中，
，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ＝OP．
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