北师大新版八年级下册《第4章 因式分解》单元测试卷（2）（word版含答案）

北师大新版八年级下册《第4章 因式分解》单元测试卷（2）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
2．（3分）把a2x+ay﹣a3xy因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．a2 B．a C．ax D．ay
3．（3分）下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（　　）
A．4x2+1 B．4x2+4x+1 C．4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x﹣1
4．（3分）王老师布置了5道因式分解的题，小明同学的答案如下，你认为他做对的题的序号是（　　）
①1+4x2＝（1+2x）2；②6xyz﹣8xy2＝2xyz（3﹣4y）；③4x+2y﹣6z＝2（2x+y﹣3z）；④a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；⑤x2y﹣4y＝y（x2﹣4）．
A．①② B．③④ C．④⑤ D．②③④⑤
5．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
6．（3分）若关于x的二次三项式x2﹣kx﹣b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
7．（3分）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
8．（3分）若+q2﹣8q+16＝0，则因式分解（x2+y2）﹣（pxy+q）的结果是（　　）
A．（x﹣y）2﹣4 B．（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）
C．（x﹣y+2）2 D．（x+y﹣2）（x+y+2）
9．（3分）要在二次三项式x2+□x﹣6的□中填上一个整数，使它能按x2+（a+b）x+ab型分解为（x+a）（x+b）的形式，那么这些数只能是（　　）
A．1，﹣1 B．5，﹣5
C．1，﹣1，5，﹣5 D．以上答案都不对
10．（3分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a2+a＝0，则2a2+2a+2021＝　 　．
12．（3分）有下列各组代数式：①5a﹣5b和5a+5b；②ax+y和x+ay；③a3+2a2b+ab2和a2+ab；④x2﹣4y2和2xy+y2．其中没有公因式的是 　 　（只填序号）．
13．（3分）已知关于x的代数式x2﹣（a+1）x+9是完全平方式，则a＝　 　．
14．（3分）为了烘托新年的节日氛围，市政部门在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛．已知该花坛的面积为（πa2+18πab+81πb2）平方米（a＞0，b＞0），则这个圆形花坛的半径为 　 　米．
15．（3分）在完成因式分解的练习时，小明不小心将一道题4x3弄上了污渍，他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式，再用平方差公式分解，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是 　 　，因式分解的结果是 　 　．（填一个合适的即可）
16．（3分）如图，甲类纸片是边长为x的正方形，乙类纸片是边长为y的正方形，丙类纸片是长、宽分别为x和y的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应取 　 　张丙类纸片，才能用它们拼成一个新的正方形，拼成的正方形的边长为 　 　．
三、解答题（共52分）
17．（6分）把下列各式因式分解：
（1）（a+b）2+a+b+；
（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．
18．（6分）用简便方法计算：
（1）﹣23.7×+×1.3﹣2.6×；
（2）2020+20202﹣20212．
19．（6分）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2+ab
20．（6分）先分解因式，再求值：
（1）15a2（b+4）﹣30a（b+4），其中a＝2，b＝﹣2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，其中x＝3.5，y＝1.5．
21．（6分）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，
（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．
22．（6分）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：（a+b）2＝a2+2ab+b2，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式．
发现：3+2＝2+2+1＝（）2+2+12＝（+1）2；
应用：
（1）写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；
（2）若a+b＝（m+n）2，请用m，n表示a，b．
拓展：如图在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，求BD的长．（参考上面提供的方法把结果进行化简）
23．（8分）阅读材料并解决问题．
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如：由图 可得等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图 可得等式 　 　．
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）图 中给出了边长分别为a，b的小正方形纸片和长、宽分别为b，a的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．
①请你用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，仿照图 、图 画出拼法并标注a，b；
②研究①中拼图发现，因式分解2a2+5ab+2b2的结果为 　 　．
24．（8分）阅读下列材料：
提取公因式法、公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫“分组分解法”．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；
（2）分解因式：x4﹣3x2y2+2y4；
（3）请比较多项式2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4与x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1的大小，并说明理由．
北师大新版八年级下册《第4章 因式分解》单元测试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），正确．
故选：D．
2．（3分）把a2x+ay﹣a3xy因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．a2 B．a C．ax D．ay
【解答】解：把a2x+ay﹣a3xy因式分解时，应提取的公因式是a．
故选：B．
3．（3分）下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（　　）
A．4x2+1 B．4x2+4x+1 C．4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x﹣1
【解答】解：A、4x2+1，不符合完全平方公式的特征，不合题意；
B、4x2+4x+1＝（2x+1）2，符合完全平方公式的特征，符合题意；
C、4x2+4x﹣1，不符合完全平方公式的特征，不合题意；
D、4x2﹣4x﹣1，不符合完全平方公式的特征，不合题意；
故选：B．
4．（3分）王老师布置了5道因式分解的题，小明同学的答案如下，你认为他做对的题的序号是（　　）
①1+4x2＝（1+2x）2；②6xyz﹣8xy2＝2xyz（3﹣4y）；③4x+2y﹣6z＝2（2x+y﹣3z）；④a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；⑤x2y﹣4y＝y（x2﹣4）．
A．①② B．③④ C．④⑤ D．②③④⑤
【解答】解：①1+4x2，不符合完全平方公式的特征，不能分解因式，故①错误；
②6xyz﹣8xy2＝2xy（3z﹣4y），故②错误；
③4x+2y﹣6z＝2（2x+y﹣3z），故③正确；
④a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故④正确；
⑤x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）故⑤错误．
故选：B．
5．（3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解答】解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），
a2+a＝a（a+1），
a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
6．（3分）若关于x的二次三项式x2﹣kx﹣b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【解答】解：根据题意得：x2﹣kx﹣b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝4，b＝﹣3，
则k+b＝1，
故选：B．
7．（3分）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【解答】解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
8．（3分）若+q2﹣8q+16＝0，则因式分解（x2+y2）﹣（pxy+q）的结果是（　　）
A．（x﹣y）2﹣4 B．（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）
C．（x﹣y+2）2 D．（x+y﹣2）（x+y+2）
【解答】解：∵+q2﹣8q+16＝0，
∴+（q﹣4）2＝0，
∴p﹣2＝0，q﹣4＝0，
解得p＝2，q＝4，
∴（x2+y2）﹣（pxy+q）
＝（x2+y2）﹣（2xy+4）
＝（x2+y2﹣2xy）﹣4
＝（x﹣y）2﹣4
＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
故选：B．
9．（3分）要在二次三项式x2+□x﹣6的□中填上一个整数，使它能按x2+（a+b）x+ab型分解为（x+a）（x+b）的形式，那么这些数只能是（　　）
A．1，﹣1 B．5，﹣5
C．1，﹣1，5，﹣5 D．以上答案都不对
【解答】解：﹣6可以分成：﹣2×3，2×（﹣3），﹣1×6，1×（﹣6），
□中填上的整数应该是﹣6的两个因数的和，即1，﹣1，5，﹣5．
故选：C．
10．（3分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a2+a＝0，则2a2+2a+2021＝　2021　．
【解答】解：∵a2+a＝0，
∴2a2+2a+2021
＝2（a2+a）+2021
＝2×0+2021
＝0+2021
＝2021．
故答案为：2021．
12．（3分）有下列各组代数式：①5a﹣5b和5a+5b；②ax+y和x+ay；③a3+2a2b+ab2和a2+ab；④x2﹣4y2和2xy+y2．其中没有公因式的是 　②④　（只填序号）．
【解答】解：①5a﹣5b和5a+5b有公因式，公因式为5；
②ax+y和x+ay没有公因式；
③a3+2a2b+ab2和a2+ab有公因式，公因式为a（a+b）；
④x2﹣4y2和2xy+y2没有公因式．
没有公因式的是②④．
故答案为：②④．
13．（3分）已知关于x的代数式x2﹣（a+1）x+9是完全平方式，则a＝　5或﹣7　．
【解答】解：∵关于x的代数式x2﹣（a+1）x+9是完全平方式，
∴x2﹣（a+1）x+32＝（x±3）2，
∴a+1＝±6，
解得：a＝5或a＝﹣7．
故答案为：5或﹣7．
14．（3分）为了烘托新年的节日氛围，市政部门在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛．已知该花坛的面积为（πa2+18πab+81πb2）平方米（a＞0，b＞0），则这个圆形花坛的半径为 　（a+9b）　米．
【解答】解：∵πa2+18πab+81πb2
＝π（a2+18ab+81b2）
＝π（a+9b）2
＝πr2，
∴r＝a+9b，
故答案为：（a+9b）．
15．（3分）在完成因式分解的练习时，小明不小心将一道题4x3弄上了污渍，他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式，再用平方差公式分解，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是 　4x3﹣9x（答案不唯一）　，因式分解的结果是 　x（2x+3）（2x﹣3）　．（填一个合适的即可）
【解答】解：老师布置的题目可能是4x3﹣9x（答案不唯一），
其因式分解的结果为：4x3﹣9x＝x（4x2﹣9）＝x（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：4x3﹣9x（答案不唯一），x（2x+3）（2x﹣3）．
16．（3分）如图，甲类纸片是边长为x的正方形，乙类纸片是边长为y的正方形，丙类纸片是长、宽分别为x和y的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应取 　4　张丙类纸片，才能用它们拼成一个新的正方形，拼成的正方形的边长为 　x+2y　．
【解答】解：甲类纸片1张，面积为x2；乙类纸片4张，面积为4y2．
设至少取丙类纸片a张才能用它们拼成一个新的正方形，
∵x2+4y2+axy是一个完全平方式，
∴a应取4，
即丙类纸片应取4张．
∵x2+4y2+4xy＝（x+2y）2，
∴拼成的正方形的边长为x+2y．
故答案为：4，x+2y．
三、解答题（共52分）
17．（6分）把下列各式因式分解：
（1）（a+b）2+a+b+；
（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．
【解答】解：（1）原式＝（a+b+）2．
（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy
＝8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy
＝x2﹣16y2
＝（x+4y）（x﹣4y）．
18．（6分）用简便方法计算：
（1）﹣23.7×+×1.3﹣2.6×；
（2）2020+20202﹣20212．
【解答】解：（1）原式＝×（﹣23.7+1.3﹣2.6）
＝×（﹣25）
＝﹣20．
（2）原式＝2020﹣（20212﹣20202）
＝2020﹣（2021+2020）×（2021﹣2020）
＝2020﹣2021﹣2020
＝﹣2021．
19．（6分）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2+ab
【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70；
（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，
∴a2+b2+ab＝29+10＝39．
20．（6分）先分解因式，再求值：
（1）15a2（b+4）﹣30a（b+4），其中a＝2，b＝﹣2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，其中x＝3.5，y＝1.5．
【解答】解：（1）原式＝15a（b+4）（a﹣2）
当a＝2，b＝﹣2时，
原式＝15×2×（﹣2+4）×（2﹣2）＝0；
（2）原式＝（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2）
＝（x+y）2（x﹣y）2
当x＝3.5，y＝1.5时，
原式＝（3.5+1.5）2×（3.5﹣1.5）2＝100．
21．（6分）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，
（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）a2c2﹣b2c2＝c2（a2﹣b2）＝c2（a+b）（a﹣b）；
a4﹣b4＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；
（2）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；
∴c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0；
∴（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∵a、b、c分别是△ABC的三边．
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或c2＝a2+b2，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
22．（6分）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：（a+b）2＝a2+2ab+b2，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式．
发现：3+2＝2+2+1＝（）2+2+12＝（+1）2；
应用：
（1）写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；
（2）若a+b＝（m+n）2，请用m，n表示a，b．
拓展：如图在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，求BD的长．（参考上面提供的方法把结果进行化简）
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝；
（2）∵a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+2n2+2mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn；
拓展：由题意得，AB＝，
∴AD＝AB＝2，
∴CD＝+2，
∴BD2＝BC2+CD2＝1+＝6+4+2＝＝，
∴BD＝．
23．（8分）阅读材料并解决问题．
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如：由图 可得等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图 可得等式 　a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　．
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）图 中给出了边长分别为a，b的小正方形纸片和长、宽分别为b，a的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．
①请你用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，仿照图 、图 画出拼法并标注a，b；
②研究①中拼图发现，因式分解2a2+5ab+2b2的结果为 　（a+2b）（2a+b）　．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45；
（3）①根据题意，作出图形如下（答案不唯一）：
②（a+2b）（2a+b）
24．（8分）阅读下列材料：
提取公因式法、公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫“分组分解法”．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；
（2）分解因式：x4﹣3x2y2+2y4；
（3）请比较多项式2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4与x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）；
（2）原式＝x4﹣x2y2﹣2x2y2+2y4
＝x2（x2﹣y2）﹣2y2（x2﹣y2）
＝（（x2﹣y2）（x2﹣2y2）
＝（x+y）（x﹣y）（x2﹣2y2）；
（3）2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4＞x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1．理由如下：
∵（2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4）﹣（x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1）
＝2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4﹣x2+xy+2y2+2y+1
＝x2﹣4xy+5y2﹣2y+5
＝x2﹣4xy+4y2+y2﹣2y+1+4
＝（x﹣2y）2+（y﹣1）2+4＞0，
∴2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4＞x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1．
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