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第二章 平面向量
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则k=（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
4．在长方形中，，，点满足，点满足，则（ ）
A．1 B．0.5 C．3 D．1.5
5．已知△ABC中，，，．若D为边BC上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若向量，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，在中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．正四面体的棱长为4，空间动点P满足，则的可能的取值为（ ）
A．-8 B．0 C．4 D．12
10．已知为坐标原点，，，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则点的坐标为
D．与方向相同的单位向量
11．如图，是平行四边形外一点，是线段上靠近的一个三等分点，是AD的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．若平面向量满足，则 .
14．已知向量，满足，，，则，的夹角为 .
15．已知非零向量，满足，且，与的夹角为45°，则 ．
16．已知向量，，若，则 ．
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．已知向量，．
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且A、B、C三点共线，求实数m的值．
18．在中，，，，点E，F在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的值.
19．已知平面向量满足，且．
（1）求向量的夹角；
（2）若，求实数的值．
20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，.
（1）若，且，求角的值；
（2）若，求的值.
21．已知平面向量，，，且，.
（1）求和：
（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.
22．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
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第二章 平面向量
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】C
【解析】【解答】由得：，，
，又，.
故答案为：C.
【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果.
2．【答案】B
【解析】【解答】，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而得出的值。
3．【答案】C
【解析】【解答】因为，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值。
4．【答案】A
【解析】【解答】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，由知，
由知，则，故。
故答案为：A.
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，进而得出的值。
5．【答案】C
【解析】【解答】由题意得：，，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，再利用数量积的运算法则合数量积的定义以及，进而求出 的取值范围 。
6．【答案】C
【解析】【解答】
则
故答案为：C
【分析】由向量数量积的定义即可求解。
7．【答案】A
【解析】【解答】，，
由C，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①②，解得，，故.
故答案为：：A.
【分析】由,,根据三角形法则分别表示向量,,然后建立方程求出,,由此即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】由题意，，，
，
因为，
所以，．
故答案为：A．
【分析】由已知条件即可求出空间向量的坐标，然后由向量垂直的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．【答案】A,B
【解析】【解答】取BC的中点为E，AD的中点为F，
因为，所以，即，
又
因为，
所以，当且仅当方向相同或为零向量时等号成立；
，当且仅当方向相反或为零向量时等号成立；
因为正四面体的棱长为4，
所以在中，，
所以，即，故，所以，
又，
所以，即，
所以的取值可能为-8,0，不可能为4,12，
故答案为：AB.
【分析】由已知条件结合中点的性质和正四面体的几何性质，利用向量的加减运算以及数量积的运算公司，整理化简即可求出三角形边的大小，再由向量模的定义以及性质即可得出答案。
10．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】,，，A符合题意；
,,，，B 正确；
设，由可得，解得，C符合题意；
，与方向相同的单位向量,D符合题意.
故答案为：ABCD
【分析】根据向量的基本性质逐一判断即可.
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】.A符合题意.
过点作AB的平行线交AM于点.
，，
；
；
因为，,；
所以 ；B符合题意.
；C符合题意.D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征，再结合三等分点和中点的性质，进而结合平面向量基本定理，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,C
【解析】【解答】连接BG，CF，
由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
，所以，所以，B项正确；
因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；
正八边形的每一个内角为，，
所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D不符合题意）.
故答案为：BC
【分析】对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断；
对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；
对C，由，利用平行四边形法则即可计算；
对D，由，即可根据向量数量积定义计算.
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】0
【解析】【解答】∵，∴，
又，，
∴，即，
故答案为：0．
【分析】由题意得，代入坐标进行计算即可．
14．【答案】
【解析】【解答】由，而，，
所以，可得，又，
所以.
故答案为：
【分析】由数量积的计算公式可得，求得，结合可得 ，的夹角的值。
15．【答案】
【解析】【解答】由，即，即
所以，即，所以
故答案为：
【分析】由，可得，根据平面向量的数量积的运算即可求出m的值。
16．【答案】
【解析】【解答】由题意得： ，
由得，，
故，
故答案为：
【分析】求得，由已知推出，根据即可求得答案.
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．【答案】（1）解：，，由于与共线，所以，则
（2）解：由于A，B，C三点共线，所以存在，使，即，所以
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，，再根据向量共线的坐标表示可求得k的值；
（2） 由A，B，C三点共线，所以存在，使，列方程即可求得m的值.
18．【答案】（1）解：设，，则，，因此，
所以，
所以
所以
（2）解：因为，
所以，
，
所以.
又，
，
∴
【解析】【分析】(1)设,,利用向量的数量积以及向量的模求解即可.
(2)根据已知条件可求得，利用向量的数量积转化求解即可。
19．【答案】（1）解：由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴
（2）解：由(1)知．
∵，∴，
化简得，
∴，解得
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，进而得出角的余弦值，再结合两向量夹角的取值范围，进而得出角的值。
（2）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出实数的值。
20．【答案】（1）解：根据题意得，，，
，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
，
，
原式．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式以及 ，进而求出角的值。
（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示和同角三角函数基本关系式，进而得出 的值。
21．【答案】（1）解：因为，，，且，，
所以，解得，
故，.
（2）解：因为，，所以，
因为，，所以，
，，，
设与的夹角为，
则，
因为，所以，向量与向量的夹角为.
【解析】【分析】(1)根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出x与y的取值由此即可得出答案。
(2)由数量积的坐标公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得出向量夹角的大小。
22．【答案】（1）解：，
因为，，三点共线，所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以解得，．
（2）解：
（3）解：因为，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，设，所以，因为，
所以，解得，所以
【解析】【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出 ， 再利用 ，，三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数k，使得 ，解出 的值，即可求出实数的值；
（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出 ， 可求出 的坐标；
（3）由平行四边形的性质，可知 ， 设，则，计算得出A点的坐标。
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