北师大版数学九年级下册3.6.2直线与圆的位置关系 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第三章
圆
直线和圆的位置关系
（第2课时）
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
学习目标
知识回顾
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r.
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
直线和圆相交
砂轮上打磨工件时飞出的火星
下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
情境导入
圆的切线的判定
一
问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？
合作探究
l
l
讲授新课
圆心O到直线l的
距离等于半径OA.
由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切.
l
l
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判一判
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
做一做
（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；
为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC.
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
典例精析
例2 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. 求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
(1) 已明确直线和圆有公共点，连接圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
方法归纳
证切线时辅助线的添加方法
三角形的内切圆及内心
二
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
A
B
C
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
M
N
D
A
B
C
O
观察与思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
A
B
O
C
1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
概念学习
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA，OB，OC分别
平分∠BAC，∠ABC，∠ACB；
3.内心在三角形内部
A
B
O
A
B
C
O
填一填
例2 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数.
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
即∠ OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB.
典例精析
∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB)
=180°- ( ∠ABC +∠ACB)
=180° - ×110°
= 125°.
A
B
C
O
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.
(6) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.
(7)三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（√ ）
（ √ ）
（ √ ）
随堂练习
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
B
·
B
D
E
F
O
C
A
3.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D，E，F，
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF
＝ l·r.
设△ABC的三边为a，b，c，面积为S，
则△ABC的内切圆的半径r＝ ;
当△ABC为直角三角形，a，b为直角边时,
r = .
2s
a＋b＋c
ab
a＋b＋c
知识拓展
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交
边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
5.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
即∠DBE＝∠DEB，
故BD＝ED.
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8 cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝ AD＝ ×8＝2(cm)．
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ,
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4 cm，
又∵BD＝DE，
∴DE＝4 cm.
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
课堂小结