山东省济宁市梁山一中2012-2013学年高二3月质检 数学理

梁山一中2012—2013学年高二3月质量检测
数学（理）
一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列命题中是全称命题的是（ ）
A．圆有内接四边形
B.>
C.<
D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形
2.给出下列四个命题：
①若，则或
②若，则
③若，则
④若,是奇数，则中一个是奇数，一个是偶数，那么（ ）
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
3. 已知：，那么的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
4.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
5.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．0
6．已知函数在处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）
A． B． C． D．7．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如图①，在平行四边ABCD中，，那么在图②中所示的平行六面体中，等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数是定义在R上可导函数，满足，且，对时。下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11.经过点的直线与抛物线的两个交点处的切线相互垂直，则直线的斜率等于（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　 )
A．a＝－4，b＝11 B．a＝，b＝或a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
14.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________.
15.已知命题：“”，
命题：“，”，
若命题“且”是真命题，则实数的取值集合是____ ____．
16.给出下列四个命题：
①如果椭圆的一条弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线的斜率为；
②过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线共有3条。
③双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
④已知抛物线上两点，且OA⊥OB(O为原点),则。
其中正确的命题有 （请写出你认为正确的命题的序号）
三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
已知，若﹁p 是﹁q的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点坐标为，点与点关于坐标原点对称，过动点作 轴的垂线，垂足为点，而点满足，且有，
（1）求点的轨迹方程；
（2）求面积的最大值；
（3）斜率为的直线被（1）中轨迹所截弦的中点为，若为直角，求的取值范围.
20. （本小题满分12分）
设双曲线的顶点为，该双曲线又与直线交于两点，且（为坐标原点）。
（1）求此双曲线的方程；
（2）求
21．（本小题满分13分）
已知函数。
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若且，函数，若对于，总存在使得，求实数的取值范围。
22. （本小题满分12分）
如图，线段的两个端点、分别分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设为点的轨迹的左焦点，为右焦点，过的直线交的轨迹于两点，求的最大值，并求此时直线的方程.
参考答案：
1-5 AABDC 6-10 BCDCD 11-12 AA
13. 14. 6 15.或 16.①②③
17.解：由得，
∴﹁p对应的解集
由得，
∴﹁q对应的解集
∵﹁p 是﹁q的充分不必要条件，且
∴，∴，∴
18.解：（1）
在点处的切线的斜率，
切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
直线的方程为：．
又直线过点，
，
整理，得， ，
，
的斜率，直线的方程为，切点坐标为．
19．解：（1）设，，由得，即.
（2）设，面积，其中为点到直线的距离，而.
（3）设直线的方程为，
联立得.
由得①，
设，由韦达定理及中点公式得
，，
由可知，代入上式得②，
由①和②消去得或.
20．解：∵双曲线的顶点为，
∴可设双曲线的方程为（）
由得，
设A（），B（）
当时，显然不满足题意
当时，且
又，∴，即
∴，∴， 经验证，此时，…9分
∴双曲线的方程为
（2）由（1）可得，
∴＝
＝
21.（本小题14分）
解：（1）


（2）
若

若或（舍去）
－
0
＋


（3）由（2）得

又



由

22.解：（1）由题可知点，
且可设A（，0），M（），B（0，），
则可得，
又，即，∴，这就是点M的轨迹方程。
（2）由（1）知为（，0），为（，0），
由题设PQ为，
由 有，
设，，
则恒成立，且，
∴==
===
令（），则=，
当且仅当，即时取“=”∴的最大值为6，
此时PQ的方程为或