第十章 静电场中的能量 复习讲义

静电场中的能量
10.1 电势能和电势
【考点一】静电力做功的特点
(1)若沿路径1移动电荷，则静电力做功是多少？
(2)若沿路径2移动电荷，则静电力做功是多少？
(3)若沿路径3移动电荷，则静电力做功是多少？
结论： 。这与重力做功的特点相一致。
注意：这一结论也适用于非匀强电场。
【考点二】电势能（重、难点）
(1)概念：电荷在电场中具有的 ，这种势能称为 ，用 表示。
(2)单位：焦耳（J） 1eV=1.60×10－19J
(3)电场力做功与电势能的关系： ，电场力做了多少功，就有多少电势能发生转化，即 。
(4)理解
①电势能是 量，但有正负之分，正负表示电势能的 ；
②电势能是相对的，与零势能位置的选取 ；通常规定 或 的电势能为零；
③电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到 位置时电场力所做的功；
④不论正负电荷，只要电场力做正功，电势能一定 ，反之亦然；
⑤在同一电场中，同样从A点到B点，移动正电荷与移动负电荷，电势能的变化是相反的；
⑥电势能是电荷与电场共有的。
比较电场中两点电势能大小的方法
①公式法：（电荷不运动时） ……该公式还可以用来判断电场中某点电势能的正负值
②做功法：（电荷运动的情况） ……类比重力做功的特点
③能量守恒定律法：若在电场中只有电场力做功时，根据能量守恒定律：动能+电势能=定值。即动能增大，电势能必减小；动能减小，电势能必增大。
[典例1]如图所示，A、B、C为电场中同一电场线上的三点．设电荷在电场中只受电场力作用，则下列说法中正确的是（ ）
A．若在C点无初速度地释放正电荷，则正电荷向B运动，电势能减少
B．若在C点无初速度地释放正电荷，则正电荷向A运动，电势能增加
C．若在C点无初速度地释放负电荷，则负电荷向A运动，电势能增加
D．若在C点无初速度地释放负电荷，则负电荷向B运动，电势能减少
【考点三】电势（电位——电场中的位置）（重、难点）
(1)定义：电荷在电场中某一点的 与它的 的 。（ 定义法）
(2)公式： （ 式） [拓展]点电荷的电势：
(3)单位：伏特，符号是V，1 V=1 J/C
(4)物理意义：电场中某点的电势，等于单位正电荷在该点具有的电势能。
(5)理解
①电势也是表征电场性质的物理量，它只跟 有关，而与均 ；
②电势是 的，但电势差是 的，一般取 或 的电势为零；
③判断电场中某两点电势的高低时无需知道零电势点的位置，也不管电荷的正负；
④电势是 量，但有正负之分，正负表示电势的 ；
⑤沿电场线的方向，电势逐渐 。 思考：电势降低的方向，一定是电场线的方向吗？
判断电势大小的方法
①电场线法：沿着电场线的方向，电势逐渐减低。（最常用，适用范围：已知电场线的方向）
②做功法：，（适用范围：已知做功正负及电荷电性）
③公式法：（少用该公式判断电势的高低）
④场源电荷法：取无穷远的电势为零，越靠近正电荷电势越高，越靠近负电荷电势越低。
[典例2](多选)如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上的两点．下列说法正确的是（ ）
A．M点电势一定高于N点电势
B．M点场强一定大于N点场强
C．正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D．将电子从M点移动到N点，电场力做正功
电场线分布 两点电荷的连线上 两点电荷的中垂线上
等量同种电荷 （正电荷）
等量异种电荷
【考点五】电场线和带电粒子的运动轨迹问题（重、难点）
①带电粒子所受的合力指向轨迹的 ；（这里的合力往往仅是电场力）
②速度方向就是轨迹的 方向；（注意：速度方向不是电场线的切线方向）
③电场线越密集的地方，电场强度越 ，电场力越 ，加速度越 ；（粒子只在电场力作用下运动）
结合牛顿第二定律+动能定理+能量守恒定律。
10.2 电势差
【知识链接】
1．静电力做功的特点：静电力做功只与电荷在电场中的____________有关，与其_________无关。
2．静电力做功与电势能变化的关系式：__________________
电势能与电势的关系式：
3．电势与电场线的关系：沿电场线的方向，电势_________。
4．等势面与电场线的关系：(1)电场线跟等势面________
(2)电场线由_______的等势面指向_______的等势面。
【学习过程】
知识点一、电势差
1、定义：电场中两点间电势的______，叫电势差，也叫______。（电势差是____量）
2、定义式：电场中任意两点的电势差或
A、B两点电势差与B、A两点电势差之间关系：
3、电势差的正负： 为正值表示A点的电势比B点____，即；
为负值表示A点的电势比B点____，即；
问题1.如图所示，图中实线为某电场的一条电场线。已知，，
此时，A、B两点的电势之差为：=____V；
B、C两点的电势之差为: =____V.
②若，则，，则 , .
③若，则，，则 , .
通过问题1的分析，可得： 电场中某点的电势与零电势点选取 ，
电场中任意两点的电势差与零电势点选取 。(有关、无关)
知识点二、静电力做功与电势差的关系
问题2.如图所示，将一电荷q从电场中的A点移动到B点，静电力做功WAB，A、B两点的电势差为UAB，试推导静电力做功与电势差的关系。
推导过程：电荷q从电场中的A点移动到B点
由静电力做功与电势能变化的关系得：=_____________ (1)
其中A点的电势能：，B点的电势能：
因为AB两点的电势差为 (2)
所以，联立（1）、（2）得：静电力做功与电势差的关系：______________或_____________
(以上两个表达式中，q需代入正负号)
（1）公式中，取正号表示从A点移动到B点时静电力对电荷做____功，取正号表示，取正号表示放入电场中的电荷为____电荷；取负号表示从A点移动到B点时静电力对电荷做____功，取负号表示，取负号表示放入电场中的电荷为____电荷
（2）静电力做功的求解方法：
①根据静电力做功与电势能变化的关系：即______________（适用于______电场）
②根据静电力做功与电势差的关系：即__________________（适用于______电场）
知识点三、等势面（重、难点）
等势面类比等高线
(1)概念：电场中 的点构成的面。
(2)等势面的特点：①等势面是 的平面，实际 ；
②在同一等势面上移动电荷，电场力 ；
③电场线总跟等势面 ，并且由电势 的等势面指向电势 的等势面；
④等势面越密集的地方，电场强度越 ，反之亦然。
(3)几种带电体周围的等势面分布
， 等量同种电荷的等势面 一头大一头小导体周围 示波管内部的电场
等量异种电荷的等势面 点电荷的等势面 匀强电场的等势面
[典例](多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则（ ）
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
10.3 电势差与电场强度的关系
基础知识精讲
电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点 的乘积。
表达式为 。
说明 （1）只适用于匀强电场；对于非匀强电场，可做定性判断。
（2）d：沿场强方向的距离。
2．由
（1）这个式子表示在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差。
由此式可推出E的单位为V/m （1 V/m=1 N/C ）
（2）在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等；
（3）在匀强电场中，相互平行的相等的线段两端点间的电势差相等。
电势差与电场强度的关系：
（1）在匀强电场中，电势沿直线均匀变化，相互平行的相等的线段两端点间的电势差相等，即在匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB=CD，则UAB=UCD（或φA–φB=φC–φD）。
（2）等分线段找等势点法：将电势最高的点和电势最低的点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三个点电势的等势点，它们的连线即等势面（或等势线），与其垂直的线即为电场线。
【例题】如图所示，匀强电场方向平行于xOy平面，在xOy平面内有一个半径为R=5 m的圆，圆上有一个电荷量为q=+l×10–8 C的试探电荷P，半径OP与x轴正方向的夹角为θ（如图），P沿圆周移动时，其电势能Ep =2.5×l0–5sin θ(J)，则
A．x轴位于零势面上
B．y轴位于零势面上
C．电场强度大小为500 V/m，方向沿y轴正方向
D．电场强度大小为500 V/m，方向沿y轴负方向
参考答案：AD
10.4电容器的电容
知识点一、电容器
1．组成：两个彼此 又 的导体，组成一个电容器。
2．电容器的充电：
（1）电路连接：如图1.8-1，单刀双掷开关S接 （填“1”或“2”）
？请在图中标出极板上电荷的电性，画出极板间电场线的方向。
（2）充电结果：极板A带上了 电荷，极板B带上了 电荷，两极板A、B之间产生了 ，由电源获得的 储存在电容器中，若A板电势为，若B板电势为，则 （<,=，>）于是两板板存在电势差U= 。
？电容器充电后，切断与电源的联系，两个极板上的电荷是否改变？ 。
3．电容器的放电：
（1）电路连接：如图1.8-2，单刀双掷开关S接 （填“1”或“2”）
（2）放电结果：两极板上的电荷 ，两极板之间不再有 ，
转化为其他形式的能，此时两板电势差U= 。
4.电容器作用:
从上述可得到,电容器的作用是 。
知识点二、电容
1．定义：电容器所带电荷量Q与 U的比值，定义式为 。这是又一个采用 法定义的物理量。
？“电容器所带的电荷量”是指 一个极板所带电荷量的 。
2．物理意义：表示电容器 本领的物理量。
3．单位：在国际单位制中的单位是 ，简称法，符号是 。1F= μF= pF。
知识点三、平行板电容器的电容
平行板电容器的电容C与极板的正对面积S、极板间的距离d、电介质的相对介电常数εr的关系式为C= ，即平行板电容器的电容C与电介质的相对介电常数εr成 ，与极板的正对面积S成 ，与极板间的距离d成 。当两极板间是真空时，C= 。
由平行板电容器电容公式可知，电容器的电容由 、 、 ，与电容器所带电量Q、两板板电势差U （有关、无关）。
知识点四、常用电容器
1．分类：从构造上可以分为 电容器和 电容器两类。请给出以下几种电容器的符号：一般固定电容器—— 电解电容器—— 可变电容器——
2．电容器的额定电压：电容器能够 时最大的电压。
电容器的击穿电压：电介质刚被 时加在电容器极板上的极限电压。电压超过这一限度，电容器就会损坏。
疑难问题探究——在探究式学习中提升思维能力
探究一、如何理解教材P29“同一个电容器，比值是一个常量”，“电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量”？
问题1：如图1.8-3，柱形水容器中的水量V与水深H的比值表示的是容器的哪个量？同一个容器，比值是常量还是变量？不同的容器，比值是否相同？比值越大，容器容纳水的本领是越大还是越小？
问题2：将电容器与柱形水容器进行类比，则电荷量Q、电势差U、电容C分别类比于水容器的哪个量？
探究二、“研究影响平行板电容器电容大小的因素”的实验现象分析
静电计：静电计实质是一种验电器，把它的金属球与一个导体相连，金属球外壳与另一个导体相连，从指针偏角大小就可以推知两个导体间的电势差的大小。
如上图所示，若越大，则两个导体间电势差越 ；若越小，则两个导体间电势差越 。
问题3：“研究影响平行板电容器电容大小的因素”的实验过程及现象如下图所示，实验过程中电容器的电荷量Q是否变化？ 。
问题4：试根据上图中的现象分析影响平行板电容器电容大小的因素：
图甲中：保持 不变，两板间正对面积S正在 ，观察到静电计指针偏角 ，即电势差U ，由公式C= 得电容C （增大、减小），说明电容器电容与正对面积关系是：正对面积越小，电容C越 。
图乙中：保持 不变，两板间距离增大，观察到静电计指针偏角 ，即电势差U ，由公式C= 得电容C （增大、减小）；两板间距离减小，观察到静电计指针偏角 ，即电势差U ，由公式C= 得电容C （增大、减小）。
说明电容器电容与两极板间距离关系是： 。
图丙：保持 不变， 电介质，观察到静电计指针偏角 ，即电势差U ，则电容C ，说明电容与 有关。
问题5：应用公式与适用条件是什么？
10.5 带电粒子在电场中的运动
一、知识回顾
平行板电容器的电容：C＝ ＝
国际单位制中，电容的单位是 。1F＝ μF＝ PF
二、新课预习
1．带电粒子沿电场线方向进入匀强电场后，由于电场力方向与粒子的运动方向在　　　　　，且电场力是恒力，所以带电粒子只能做　　　　　　　。
2.带电粒子的偏转（限于匀强电场）
（1）运动状态分析：带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，由于电场力方向与粒子的初速方向　 ，且电场力是恒力，所以带电粒子只能做　　　　　。
（2）粒子偏转问题的分析处理方法类似于平抛运动的分析处理，即应用运动的合成和分解的知识方法：
沿初速度方向为 ，位移与时间的关系为 ，运动时间t= 。
沿电场力方向为初速度为零的匀加速直线运动，加速度。
离开电场时的偏移量
离开电场时的偏转角
三、例题选讲
[例]如图所示，一束带电粒子（不计重力），垂直于电场方向进入偏转电场，试讨论以下情况中，粒子应具备什么条件，才能得到相同的偏转距离y和偏转角度θ（U、d、L保持不变）
（1）进入偏转电场的速度相同。
（2）进入偏转电场的动能相同。
（3）先由同一加速电场从静止开始加速后，再进入同一偏转电场。
(
θ
d U
L
y
)
四、巩固练习
如图所示，一个电子以4×106 m/s的速度沿与电场垂直的方向从A点飞进匀强电场，并且从另一端B点沿与场强方向成150°角方向飞出，那么，A、B两点间的电势差为多少伏 (电子的质量为9.1×10－31 kg).
五、方法提炼
六、课后作业
一、单选题
1．原来都是静止的质子和α粒子，经过同一电场加速后，它们的动能大小之比为（ ）
A．1：2 B．1：1 C．2：1 D．2：3
2．如图，在场强大小为5×104N/C，方向水平向左的匀强电场中，一质量为1kg、电量为 +2×10-5C的物体在t=0时刻以某一速度v0向右运动．已知物体与绝缘水平面间的动摩擦因数为0.2，取向右为正方向，则能反映物体所受摩擦力f 随时间t变化的图像为（g=10m/s2）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子在匀强电场中运动，依次通过等腰直角三角形的三个顶点A、C、B，粒子在A、B两点的速率均为v0，在C点的速率为，已知AC=d，匀强电场在ABC平面内，粒子仅受电场力作用。则（　　）
A．场强方向沿AC方向由A指向C B．场强方向垂直于AB指向C
C．场强大小为 D．场强大小为
4．一电子枪发射出的电子（初速度可视为零）进入加速电场加速后，垂直进入偏转电场，射出后偏移量为y，要使偏转位移增大，下列可行的办法是（　　）
A．增大偏转电压
B．增大加速电压
C．增大极板间距离
D．将发射的粒子改为比荷大的带负电粒子
5．在一对很大的平行正对金属板间可形成匀强电场，通过改变两金属板间的电压，可使其间的电场强度随时间按如图所示的规律变化。在这个电场中间，有个带电粒子从时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力作用，且运动过程中不接触金属板，则下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子一定只向一个方向运动
B．内，电场力的冲量等于0，电场力做的功小于0
C．末带电粒子回到原出发点
D．内，电场力的冲量等于0
6．如图，一带正电的点电荷固定在P点，现将一带电小球从P点正上方A点由静止释放，小球向下运动，通过O点时速度最大，到达B点时速度减为零。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．带电小球在A点的加速度大于g
B．带电小球从A点运动到B点的过程中，机械能先增大后减小
C．带电小球从A点运动到O点的过程中，重力势能的减少量等于电势能的增加量
D．带电小球从O点运动到B点的过程中，重力势能的减少量小于电势能的增加量
7．如图甲，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其运动的图像如图乙所示。设负电荷在A、B两点所受的静电力为、，A、B两点的场强分别为、，则根据图乙的信息可知下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．水平线上方有一水平向右的匀强电场，场强为E，一带电粒子从A点以速度竖直向上射入电场，粒子的质量为m、电荷量为，到达点B时的速度方向变为水平，大小为，下列说法正确的是（　　）
A．粒子的轨迹是圆弧
B．从A点到B点，粒子的电势能减少了
C．粒子再次经过水平线上的C点（图中未画出）时间的距离为间水平距离的2倍
D．粒子再次经过水平线上的C点（图中未画出）时的动能为
9．如图所示竖直平面内，真空中的匀强电场与水平方向成15°角斜向下，现有一质量为m，电荷量为+q的小球在A点以初速度v0水平向右抛出，经时间t小球下落到C点（图中未画出）时速度大小仍为v0，则小球由A到C的过程中（　　）
A．重力做功
B．AC连线一定与电场线垂直
C．C点电势可能低于A点
D．小球做匀变速曲线运动
10．如图所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON在竖直面内做匀变速直线运动。ON与水平面的夹角为30°，且mg=qE，则（　　）
A．电场方向竖直向上
B．小球运动的加速度大小为
C．小球上升的最大高度为
D．小球返回原位置所用时间为
11．图（a）中和是真空中的两块面积很大的竖直平行金属板，加上周期为的交变电压，在两板间产生交变的匀强电场。已知板电势为零，板电势随时间变化的规律如图（b）所示（图中只画出一个周期）。在两板之间的中点处，有一个带负电粒子（不计重力），在时，粒子在电场力的作用下从静止开始运动。已知在时刻，粒子的速度大小为（粒子始终不会和金属板相碰），则在时间内，关于粒子的速度—时间的图像，下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．