4.2等差数列 同步练习 （Word版含解析）

4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．已知数列中，，，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．已知数列满足若，且，则（ ）
A．2019 B．2020
C．4029 D．4038
3．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列（ ）
A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
5．已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知均为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
8．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
9．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
10．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0 B．37
C．100 D．－37
11．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
13．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
二、填空题
16．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
17．已知数列的前项和为，，，则数列的前项和_____________.
18．设等差数列的前n项和为，且，则当n＝__________时，最大．
三、解答题
19．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知_____，
（1）判断，，的关系；
（2）若，设，记的前n项和为，证明：.
甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.
20．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
21．已知数列为等差数列，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值.
22．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由题意可得，可得为等差数列，进而求得的通项，带入即可求得的值.
【详解】
，
所以为以为首项公差的等差数列，
所以，
所以，
由，
所以，
故选：C.
2．C
先分析得到数列为等差数列，再求出等差数列的公差即得解.
【详解】
解：由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，
故，即，又，
则.
故选: C
3．A
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】
∵，
∴，
故选：A
4．A
通过计算可得答案
【详解】
解：因为，
所以数列{an}是以为公差的等差数列
故选：A.
5．B
将原式变形，进而通过累加法求出，进而判断出的正负项，由此得出的正负项，最后得到答案.
【详解】
由题意，n=1时，，
时，，
则，
即，
则当时，，而均满足该式，
所以.
令，则，
于是，当时，，当时，，
由题意，.
所以，当的前项和取到最大值时的值为10.
故选：B.
关键点点睛：解决本题的关键是累加法的使用及转化前n项和的最值为讨论项的正负.
6．C
根据两个等差数列相加后仍为等差数列，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】
数列是以为首项，为公差的等差数列
故选：C．
7．A
由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.
【详解】
设他们每天收到的捐款形成数列，
则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，
，解得（舍去）或，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.
故选：A.
8．B
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，
所以n＝14.
故选：B
9．B
先判断数列{an}为等差数列，写出通项公式，若前k项和数值最大，利用，解出k.
【详解】
∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．
设{an}的前k项和数值最大，则有
即∴≤k≤，
∵k∈N*，∴k＝7．
∴满足条件的n的值为7．
故选：B
求等差数列前n项的最大（小）的方法：
（1）由用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值；
（2）利用an的符号
①当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值，其n的值由an≥0且an+1≤0求得；
②当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值，其n的值由an≤0且an+1≥0求得.
10．C
根据等差数列的定义可得数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.由已知求得首项和公差，可得选项.
【详解】
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
故选：C.
11．D
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
，，，，.
，.
故选：D.
本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．A
由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】
由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
13．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
14．A
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
15．D
分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.
【详解】
∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
故选：D.
16．
设此等差数列为，由题意可得，利用等差数列的通项公式转化为关于和的方程，求得和的值即可求得的值.
【详解】
设此等差数列为，公差，
由题意可得：，即，
解得：，所以．
故答案为：．
17．
由递推关系求的通项公式，错位相减法求和.
【详解】
由，得，
当时，，两式作差，
得，
化简得，当时，
，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
，，
错位相减得，
即.
故答案为: .
方法点睛:若为等差数列，为等比数列，则数列前项和用错位相减法.
18．1008
由结合等差数列的前项公式可作出判断．
【详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴当n＝1008时，最大．
故答案为：1008
19．（1）（2）见解析
（1）可补充公比q的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；
（2）由等比数列的通项公式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证.
【详解】
（1）由题意可得，，，
可得，即，，成等差数列；
（2）证明：由，可得，解得，
，
则，
，
上面两式相减可得
，
化简可得，
由，可得.
本小题主要考查证明数列是等差数列，考查错位相减求和法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】
（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
21．（1）；（2）.
（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式.
（2）由，，利用等差数列通项公式能求出的值.
【详解】
解：（1）∵数列为等差数列，，且.
∴，
解得，，
∴数列的通项公式为.
（2）∵，，
∴.
22．（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）.
（1）根据等差数列的定义即可证得结论；
（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.
【详解】
（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，
又因为，
故，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
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