4.1数列的概念 同步练习 （Word版含解析）

4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．当为偶数时， D．当为奇数时，
4．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
6．已知数列满足则数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A．13 B．16 C．31 D．64
8．已知数列满足，若，则=（ ）
A． B． C． D．
9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
11．将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
12．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（ ）
A．380 B．410 C．420 D．462
二、填空题
13．意大利数学家斐波那契年年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为______．
14．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.
15．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
16．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．
17．在数列，，，则_______.
三、解答题
18．对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．
19．有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
21．在数列中，．
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列的最大项．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据分子和分母的数学特征进行判断即可.
【详解】
原数列可变形为，
所以，
故选：C
2．D
由条件分析数列的单调性，由此确定满足的最小正整数.
【详解】
∵，
∴，又，
∴ 数列为递增数列，∴
∵
∴，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
当时，，
又
∴当时，，
当时，
∴ 使成立的最小正整数是2023.
故选：D.
本题主要考察累加法求数列的通项，一般的，若，则，即.
3．B
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．
【详解】
解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
则数列的通项公式为：，
所以，，
当为偶数时，，
当为奇数时，．
故选：B．
4．D
利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】
解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
5．B
根据题意计算出数列的周期，即可求得.
【详解】
解：由，得，
即，
数列是以3为周期的周期数列，
．
故选：B．
6．B
本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．
【详解】
解：由题意，可知：
．
令，则．
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
．
．
，
，
．
各项相乘，可得：
．
．
令，
则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．
，，
的最小值为．
．
数列的最大项为．
故选：．
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
7．C
根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.
【详解】
，，
，，，，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为.
故选：C.
8．A
依次求出得解.
【详解】
时，；
时，；
时，.
故选：A
本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
9．C
根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
10．B
讨论出当分别取、、、、时，数列为周期数列，然后说明当时，分为正奇数和正偶数两种情况分析出数列不是周期数列，即可得解.
【详解】
已知数列满足，.
①若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；
②若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；
③若，则，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；
④若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；
⑤若，则，，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列；
⑥若，则，，，，以此类推，可知对任意的，，
此时，为周期数列；
⑦若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列；
⑧若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列.
下面说明，当且时，数列不是周期数列.
（1）当且时，由列举法可知，数列不是周期数列；
（2）假设当且时，数列不是周期数列，那么当时.
若为正偶数，则，则数列从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列不是周期数列；
若为正奇数，则且为偶数，
由上可知，数列从第二项开始不是周期数列，进而可知数列不是周期数列.
综上所述，当且时，数列不是周期数列.
因此，若为周期数列，则的取值集合为.
故选：B.
本题解题的关键是抓住“数列为周期数列”进行推导，对于的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
11．D
首先设，，令，得到，根据得到，，，……，再计算即可。
【详解】
设，，
令，，
则，解得。
又因为，所以，
即，，，……，
所以。
故选：D
12．C
由前10项，可得奇数项和偶数项的通项公式，再求.
【详解】
由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式，，
奇数项的通项公式，，
.
故选：C
13．8
利用对数的运算法则可得，令，则，根据数列的单调性，求出成立的的最小值，即可求出答案.
【详解】
由题知，
∴，
∴，
即
∴，
∴，
∴，
∴，
令，则数列即为斐波那契数列，
，即，
显然数列为递增数列，所以数列亦为递增数列，
不难知道，，且，，
∴使得成立的的最小值为8.
故答案为：8.
14．
先根据三点共线求解出之间的关系，由此确定出为周期数列，并求解出前项的值，然后根据周期性可求的值.
【详解】
设，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
结论点睛：已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
15．3n
利用数列通项和前n项和的关系求解.
【详解】
当时，，
当时，由a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，
得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，
两式相减得，
所以，又，
所以，
故答案为：
16．
将该数列的前四项表示为，，，，由此可归纳得出该数列的一个通项公式.
【详解】
该数列的前四项可表示为，，，，
因此，该数列的一个通项公式为.
故答案为：.
本题考查利用观察法求数列通项，属于基础题.
17．
用累加法直接求解即可.
【详解】
在数列，，，所以
累加得：，所以．
故答案为：．
18．（1）；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列的通项公式为，，．
（1）根据为递增数列以及收缩数列的定义可得结果；
（2）根据，以及不等式的性质可得，再根据收缩数列的定义可得结果；
（3）在中，令可得，猜测，，，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解.
【详解】
（1）由可得为递增数列，
所以，
所以.
（2）因为，
，所以
所以，
所以，又因为，
所以，
所以数列的“收缩数列”仍是.
（3）由，
可知当时，，
当时，，则，因为，所以，
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾；
若，则，所以由（*）可得，符合，
猜想，满足的数列为
，，，
经验证左边，
右边，
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件，
由上述的情况可知，时是成立的，
假设是首次不符合，的项，则，
由题设条件可得，
即（&），
若，则，所以由（&）式化简可得与矛盾，
若，则，所以由（&）式化简可得，所以与同号，这与矛盾，
若，则，所以由（&）化简可得，这与矛盾，
所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，
所以所有满足条件的数列的通项公式为，，.
本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.
19．答案见解析
根据等差 等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.
【详解】
记，从而有().
选择①，数列是公比为的等比数列，
因为，所以，即.
所以，所以.
由，当时，，当时，，
所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得对任意的，都有.
选择②，方法一：是公差为1的等差数列，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，上式成立，
所以.
所以，从而.
由，
所以当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.
，
由()，得，解得.
选择③，方法一：，
则，
从而，
即.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
所以，从而，即，
所以数列为单调递增数列，
故不存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
则，
因为，所以不存在，使得对任意的，都有.
关键点点睛：本题属于开放性试题，选择不同的条件，根据数列通项及单调性得到的结论不同，关键点即复合数列单调性的判断.
20．（1），；（2）不是
【详解】
试题分析：（1）根据通项公式求对应项的值（2）列方程，通过方程是否有正整数解作判断
试题解析：(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝ (舍)，
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2 N*， N*，∴68不是该数列的项
21．(1)证明见解析
(2)最大
（1）令和，分别求解不等式可得证
（2）由（1）得出的数列的单调性可得答案.
(1)
证明：令，即，整理得，解得．
令，即，整理得，解得．
所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减．
(2)
解：由（1）知最大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页