4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不存在
2．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
3．等比数列中，，，则数列的前6项和为（ ）
A．21 B． C． D．11
4．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8 C．4 D．2
7．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．35 B．33 C．16 D．29
8．已知等比数列中，，，则（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
9．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
10．等差数列中，，.设，记为数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知等比数列前项和是，前项和是，则前项和是（ ）
A． B． C． D．或
12．在等比数列中，已知，那么的前4项和为.
A．81 B．120 C．121 D．192
13．若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
14．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
15．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
二、填空题
16．已知数列满足（），为其前项和，若，则___________.
17．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
18．单调递增的等比数列满足，令，则的前10项和为________．
三、解答题
19．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
20．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.
21．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
22．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.
【详解】
等比数列中，，，则，则．
当时，若，则有，解得；
当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．
故选：A．
2．D
令首项为，公比为，由题设条件列方程组，求即可.
【详解】
∵为等比数列，令首项为，公比为，则，
∴解得：或
故选：D.
3．A
根据等比数列的通项公式可求出等比数列的公比为，进而求出，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，即，
所以，故前6项和为.
故选：A.
4．D
利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值.
【详解】
由题意可得.
故选：D.
5．A
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
6．C
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
7．C
设等比数列的公比为，结合题意和等比数列的性质可知，可得出，再根据等差中项的定义，可求出，进而可求出，最后由，即可求出的结果.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
由等比数列的性质，知，所以，
由与的等差中项为，知，所以，
所以，则.
故选：C.
8．B
根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【详解】
等比数列中，，，
则，解得，
故选：B．
9．B
由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.
【详解】
设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，
且，即，解得，
则，即第二天走了96里.
故选：B.
10．C
首先求数列的通项公式，然后利用等比数列的前项和公式，求的值.
【详解】
设的公差为，由题意得，因为，
所以，解得，故，则.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由得，解得.
故选：C.
11．A
设等比数列的公比为，前项和为，推导出、、成等比数列，列方程可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，前项和为，
则，
，
所以，，，
整理可得，解得或.
当时，，则，显然不成立，故.
故选：A.
12．B
根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.
【详解】
,
.故选B
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.
13．C
当n=1时，求出a1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1)
然后对a-1是否为0讨论即可
【详解】
当n=1时，a1=S1=a-1;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.
故选:C
等比数列各项都不等于0.
14．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
15．B
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.
故选：B.
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
16．
根据题意和等比数列的定义得数列是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足（），可得数列是公比为的等比数列，
因为，可得，解得，
所以.
故答案为：.
17．
根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】
因为，
所以，
因此，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因为，
所以；
又符合上式，所以.
故答案为：.
18．
设单调递增的等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列方程求出和，可得和，根据裂项求和方法可求得结果.
【详解】
设单调递增的等比数列的公比为，则，
则，所以，
消去得，即，
解得或（舍），
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
关键点点睛：根据等比数列的通项公式列方程求出和是解题关键.
19．（1）；（2）
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
20．（1）；（2）；（3）存在，19.
（1）由已知结合等比中项的性质可得a3＋a5＝5，再由a3a5＝4，求出a3、a5，进而求、a1，写出通项公式即可.
（2）由（1）及已知可得bn＋1－bn＝－1、b1＝4，根据等差数列前n项和公式写出Sn；
（3）由（2）知，则n＝8或n＝9时有最大值，进而可判断k的存在性.
【详解】
（1）∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，则，所以(a3＋a5)2＝25，又an>0，
∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，即a3a5＝4，而q∈(0,1)，则a3>a5，
∴a3＝4，a5＝1，可得，a1＝16，
∴.
（2）∵bn＝log2an＝5－n，则bn＋1－bn＝－1，又b1＝5－1＝4，
∴{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，
∴.
（3）由（2）知，.
当n≤8时，；当n＝9时，；当n>9时，.
∴当n＝8或n＝9时，最大.
故存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19.
21．（1）；（2）.
（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求得.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，则，则，，
由于是和的等差中项，即，即，解得.
因此，数列的通项公式为；
（2），
.
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.
22．（I）；（II）证明见解析.
（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】
（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
答案第1页，共2页
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