5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．4
2．已知函数，，曲线上总存在两点，使曲线在 两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
4．若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
5．函数的图像大致为
A． B．
C． D．
6．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
8．已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
10．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.
14．抛物线在点处的切线方程为______．
15．已知函数在处可导，若＝1，则_______．
16．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.
三、解答题
17．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点、．
①求实数的取值范围；
②求证：．
18．试求过点且与曲线相切的直线方程．
19．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．
20．求函数的图象上过原点的切线方程．
21．已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求和的值；
（2）对，成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.
【详解】
解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式恒成立，即不等式恒成立，
它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，
即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.
所以在内恒成立，即在内恒成立.
当时，，则，当且仅当时等号成立，
所以，a的最小值为-4.
故选：A.
2．B
求得的导数，由题意可得，，且，化为，因此对，都成立，令，，，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．
【详解】
解：函数，导数．
由题意可得，，且．
即有，
化为，
而，
，
化为对，都成立，
令，，则在上单调减，在上单调递增，
所以
，
，即的取值范围是．
故选：B．
方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．
3．A
由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于，两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．
【详解】
①，而显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；
②，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
③，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
④，而，故有两个“中值点”，符合题设；
故选:A．
4．A
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【详解】
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
5．D
【详解】
分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
6．C
利用导数定义求的导函数，进而求，根据导数的几何意义即知点处的切线的倾斜角.
【详解】
∵，
∴．又切线的倾斜角的范围为，
∴所求倾斜角为．
故选：C
7．D
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
8．C
由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为，所以函数的图像关于直线对称.
当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.
当时，函数，，
设切点为，切线的斜率，
则切线方程为，把点代入得，所以；
当直线过点时，，
所以的取值范围为，
故选：C.
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意画出函数的图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题
9．D
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
10．D
【详解】
巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以.
故选：D.
11．A
根据切线方程可得切点为，结合导数的几何意义求出，进而计算即可.
【详解】
易得切点，所以，，即.所以.
故选：A
12．C
求出函数的导函数即可求出，再根据点斜式求出切线方程；
【详解】
解：∵的导数为，
∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．
故选：C．
13．
根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解.
【详解】
因为函数，
所以，
又因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：
本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．##y＝2x－2
利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
，，
∴在（1,0）处切线为：，即.
故答案为：.
15．
利用导数的定义分析即可.
【详解】
即
故答案为：.
16．
由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.
【详解】
，.
当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；
当时，令，可得，
当时，，当时，，
此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
17．（1）递减区间为，递增区间为；（2）①，②证明见解析．
（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减去加；
（2）①分析可知在上有两个不同的零点，对实数的取值进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
②先证明出，其中，由已知条件可得出，再利用不等式可证得结论成立.
【详解】
（1），
令，，
因为，所以当时，，单调递减，
所以当时，，单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
因此，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（i），
要使在上有两个极值点、，
则在上有两个不同的零点，
①时，由（1）知，，
令，故，
所以在上为增函数，所以，故，
故在上无零点，舍；
②当时，，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当时，，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即要使，解得.
综上所述，的取值范围为；
（ii）由（i）知，，，
先证不等式，其中，
即证，即，
令，即证，
构造函数，则，
所以，函数在区间上单调递减，故，
由已知可得，故，
所以，则，所以，，
因此，.
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
18．和．
先利用导数的定义求的导数，计算其在处的值即得斜率，再设切点，结合过两点的直线的斜率公式，得到关于的关系式，解得切点即得切线方程.
【详解】
解：因为，
则，因此．
设过点的直线与曲线相切于点，
根据导数的几何意义知，曲线在点P处的切线的斜率为①，
过点M和点P的切线的斜率②，
由①-②得，解得或，所以或，
因此过点且与曲线相切的直线有两条，方程分别为和，即和．
方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点 ；（2）求出在处的导数，即在点出的切线斜率；（3）构建关系，解得；（4）由点斜式求得切线方程.
19．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
（1）根据题意可知，路程关于时间的函数图象是一条斜率为正数的直线，由此可作出函数图象；
（2）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐增大，由此可作出函数图象；
（3）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐减小，由此可作出函数图象.
【详解】
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
20．或
首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解.
【详解】
设切点坐标为，则，
∵
,
所以切线方程为．
因为切线过原点，
所以，即，
解得或，
所以切线方程为或.
21．（1），；（2）．
（1）求导，再根据函数的图象在处的切线方程为，由，求解.
（2）将对，成立，转化为恒成立，令，，用导数法求得其最大值，由求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
又因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，，
解得，.
（2）因为对，成立，
所以恒成立，
令，
则，
设，，则，从而，
因为，，
所以，
因为的图象在上是不间断的，
所以，满足，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
从而在时取得最大值，
所以的取值范围为．
方法点睛：恒成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则；；
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.
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