5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

5.2导数的运算
一、单选题
1．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是函数的导数，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
8．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．
时间 0 10 20 30 40 50 60
降雨量 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是（ ）．A．到 B．到
C．到 D．到
10．函数在和处的导数的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
11．已知函数，则为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题
13．过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________．
14．若函数，则______．
15．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.
16．曲线在处的切线方程为______________．
17．定义在上的函数满足，的导函数，则___________.
三、解答题
18．已知函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在处的切线方程．
19．求下列函数的导数：
（1）
（2）
20．求下列函数的导数．
（1）；（2）；
（3）；（4）．
21．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】
解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
2．A
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
3．B
先求出函数的导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程.
【详解】
依题意得，当时，，即切线的斜率为2，故切线方程为，即.
故选：B．
4．A
求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.
【详解】
解：∵，∴，
曲线在点处的切线斜率是，
∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即．
故选：A.
5．B
求导取代入导函数求得，即可求解．
【详解】
因为，所以，得
则，所以
故选：B
6．B
先求出，再代入求解即可.
【详解】
解：由函数，
则，
又，
则，
即1，
故选：B.
本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
7．A
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得.
故选：A.
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
8．C
依据求导公式及法则一一判断即可.
【详解】
A选项：，A正确；
B选项：，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：，D正确
故选：C
9．D
结合题意计算各个时间段的降雨强度，再比较大小即可．
【详解】
解：到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为．
因为，所以四个时段中到的降雨强度最小．
故选：．
10．A
求出函数导数即可比较.
【详解】
，，所以，即.
故选：A.
11．B
求导函数，然后取代入导函数，即可求解结果．
【详解】
因为，则
所以，解得
故选：B
12．B
利用复合函数求导法则运算即可.
【详解】
∵，∴，
∴.
故选：B.
13．
先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.
【详解】
由（），则，化简得，
则，设切点为，显然不在曲线上，
则，得，则切点坐标为.
故答案为：.
本题考查了过一点的曲线的切线问题，导数值为切线斜率是解决此类问题的关键，属于基础题.
14．1
先求出函数的导数，再将代入即可求得答案.
【详解】
因为，所以．
故答案为：1.
15．（答案不唯一）
设函数，求得，得到，符合题意.
【详解】
由题意，设函数，可得，
令恒成立，
即函数，符合题意.
故答案为：.
16．
根据导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.
【详解】
因为，所以，，
所以切线的斜率，
所以切线方程为.
故答案为：.
17．
对两边同时求导得,进而得答案.
【详解】
因为，
两边同时求导可得：，
故.
故答案为：
本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.
18．(1)；
(2).
(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
(1)
由求导得：，
又，则，解得，
所以的解析式为.
(2)
由(1)得，，则，
在处的切线方程为，即，
所以f(x)在处的切线方程是：.
19．（1）；（2）.
直接利用导数的计算公式和法则运算即可
【详解】
解：（1），
（2）
20．（1）；（2）；（3）；（4）．
根据导数的运算法则分别计算即可.
【详解】
（1）；
（2）
；
（3）；
(4)，
．
21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
（1）求导，对a分类讨论求解单调区间；（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解
【详解】
解：（1）∵，∴
（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．
时，，∴单增，∴增区间是．
（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．
（3）当时，∵，∴的减区间是．
（4）当时，，∴，∴的增区间是，
，，∴的减区间是．
（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴
，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．
∴，∴，∵，∴．
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
答案第1页，共2页
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