6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 214.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-14 02:06:21 | ||
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文档简介
选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）.现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（ ）
A．6 B．18 C．27 D．36
2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种．
A． B． C． D．
3．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
4．某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ）
A．25 B．35 C．40 D．300
5．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．50种 B．60种 C．80种 D．90种
7．数学与文学有许多奇妙的联系，如文学中的诗歌有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
8．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ）
A．24个 B．12个 C．18个 D．6个
9．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
10．某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他要花的钱数为（ ）
A．3360 B．6720元 C．4320元 D．8640元
11．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
12．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ）
A．480种 B．360种 C．420种 D．320种
二、填空题
13．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个.
14．某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有______种.
15．某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．
16．圆周上有2n(n大于2)个等分点，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__________．
17．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方．为配合国家精准扶贫战，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
三、解答题
18．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
19．6名同学排成一排拍照，求下列不同的排法种数．(用数字作答)
(1)甲，乙必须站在两端；
(2)甲乙两人相邻且与丙不相邻；
(3)甲在乙的左边，丙在乙的右边(可以不相邻)；
(4)甲，乙不在最左端，乙不在最右端．
20．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等.
（1）在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率.
21．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
按照分步乘法计数原理从每层枝叶各选一只神鸟即可得到答案.
【详解】
每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数有（种）.
故选：C.
2．C
四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况.
【详解】
解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，
每项冠军都有3种选取方法，
由乘法原理共有种．
故选:C
3．A
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
按照分类计数原理计算即可得解.
【详解】
从男工人中选一人有20中选法，从女工人中选一人有15种选法，根据分类计数原理可得，不同的选法共有种.
故选：B.
5．C
本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
【详解】
由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故选：C．
6．C
根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
则一共有种选法.
故选：C.
本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.
7．A
若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，按个位、十位、百位分步计数即可.
【详解】
由题意知，若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，十位上的数字有10种不同的取值，百位上的数字同个位上的数字，所以三位数的回文数中偶数的个数为，
故选:A.
8．B
先确定百位，由分步乘法原理求解
【详解】
由题意可知，百位上的数字为2或3，十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字，个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个，
故比200大的3位数的个数为.
故选：B
9．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
10．D
分三步，第一步先从01至10中选3个连续的号，再从11至20中选2个连续的号，然后从21至30中选1个号，最后从31至36中选1个号，由分步乘法计数原理求解.
【详解】
从01至10中选3个连续的号共有8种选法；
从11至20中选2个连续的号共有9种选法；
从21至30中选1个号共有10种选法；
从31至36中选1个号共有6种选法，
所以共有种选法，要花元．
故选：D
11．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
12．C
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.
【详解】
分两步，由题设四棱锥的顶点S,A,B 所染颜色互不相同，则共有5×4×3=605×4×3=60 ，
当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C 染2 ，则DD可染33或4或5，
共三种，若C 染4 ，则D 可染3 或5，共2种，若C 染5 ，则D 可染3 或4，共2种，
即当S,A,B染好时，C,D 还有7 种染法，所以共有60×7=420 ，
故选:C.
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理综合应用，属于中档题.两个原理的应用不是孤立的，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
13．12
分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4， 4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案.
【详解】
当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.
当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，
当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，
根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.
故答案为：12
14．
利用乘法原理即可.
【详解】
每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有种.
故答案为:
15．12
分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意可得，
①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．
②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．
故答案为：
16．2n(n－1)
先根据圆周上有2n个等分点，得到n条直径，再得到每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形数，然后利用分步计数原理求解.
【详解】
由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成三角形，
因为有2n个等分点，
所以应有n条直径，
每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，
所以可有2n-2个直角三角形，
由分步计数原理知共有个直角三角形，
故答案为：
17．360
方法1：由题意，分四种情况分类讨论，（1）甲校安排1名教师；（2）甲校安排2名教师；
（3）甲校安排3名教师；（4）甲校安排4名教师，再由分类计数原理，即可求解；
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，分别求解，再由分类计数原理，即可求解.
【详解】
方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：
（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；
（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；
（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；
（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；
由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，
（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；
（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；
（3）对于第三种情况，共有（种）；
综上所述，共有（种）分配方案.
本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
18．384（种）
等于7的数字可分成三组：，，，第一行的排法种数为种，第二行的排法种数为种，第三行有2种排法，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，
记，，．
第一步，排第一行的两个数字，先从，，三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为．
第二步，排第二行的两个数字，先从，，中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为．
第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．
由分步乘法计数原理，知不同的排法共有（种）．
19．(1)48
(2)144
(3)120
(4)384
（1）先把甲，乙排在两端，其他4人排中间即可，
（2）除甲乙丙外，剩余的3人先排列，再把甲，乙捆在一起看成整体与丙去插空即可，
（3）除甲乙丙外，剩余的3人从6个位置中选3个位置排列，然后剩下的3个位置由甲乙丙按从左到右的顺序排即可，
（4）先让乙从中间4个位置中选1个，再由甲从除最左端外的4个位置中选1个，然后剩下4人排在剩余的4个位置即可
(1)
由题意得先把甲，乙排在两端，其他4人排中间，
所以由分步乘法原理得，共有种方法
(2)
由题意得除甲乙丙外，剩余的3人先排列，有种方法，
然后把甲，乙捆在一起看成整体与丙去插空，有种方法，
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
(3)
由题意得，除甲乙丙外，剩余的3人从6个位置中选3个位置排列，有种方法，
然后剩下的3个位置由甲乙丙按从左到右的顺序排，有1种方法
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
(4)
由题意得，先让乙从中间4个位置中选1个，有种方法，
再由甲从除最左端外的4个位置中选1个，有种方法，
然后剩下4人排在剩余的4个位置，有种方法
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
20．（1）；（2）.
（1）三个回合中，所有可能共8个结果，其中满足题意的情况共3种，从而得到结果；
（2）打完四回合的所有可能共10个结果，其中满足题意的情况共2种，从而得到结果.
【详解】
（1）用表示事件“一回中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是，AAA，A，，共8个结果，其中只有三个结果，甲队得1分.
设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球.甲队得1分”为事件，则，
所以，甲队得1分的概率为；
（2）打完四回合的所有可能结果是：
，共10个结果，其中只有两个结果，甲队第四回合比乙队多2分，甲获胜.设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件，则.
所以，甲队在第四回合获比赛胜利的概率为.
方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
21．（1）7680种；（2）1152种.
(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得；
(2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
【详解】
（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，
由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；
（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，
第三步，排，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）.现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（ ）
A．6 B．18 C．27 D．36
2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种．
A． B． C． D．
3．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
4．某车间有男工人20人，女工人15人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ）
A．25 B．35 C．40 D．300
5．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．50种 B．60种 C．80种 D．90种
7．数学与文学有许多奇妙的联系，如文学中的诗歌有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
8．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ）
A．24个 B．12个 C．18个 D．6个
9．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
10．某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他要花的钱数为（ ）
A．3360 B．6720元 C．4320元 D．8640元
11．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
12．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ）
A．480种 B．360种 C．420种 D．320种
二、填空题
13．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个.
14．某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有______种.
15．某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．
16．圆周上有2n(n大于2)个等分点，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__________．
17．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方．为配合国家精准扶贫战，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
三、解答题
18．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
19．6名同学排成一排拍照，求下列不同的排法种数．(用数字作答)
(1)甲，乙必须站在两端；
(2)甲乙两人相邻且与丙不相邻；
(3)甲在乙的左边，丙在乙的右边(可以不相邻)；
(4)甲，乙不在最左端，乙不在最右端．
20．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等.
（1）在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率.
21．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
按照分步乘法计数原理从每层枝叶各选一只神鸟即可得到答案.
【详解】
每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数有（种）.
故选：C.
2．C
四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况.
【详解】
解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，
每项冠军都有3种选取方法，
由乘法原理共有种．
故选:C
3．A
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
按照分类计数原理计算即可得解.
【详解】
从男工人中选一人有20中选法，从女工人中选一人有15种选法，根据分类计数原理可得，不同的选法共有种.
故选：B.
5．C
本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
【详解】
由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故选：C．
6．C
根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
则一共有种选法.
故选：C.
本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.
7．A
若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，按个位、十位、百位分步计数即可.
【详解】
由题意知，若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，十位上的数字有10种不同的取值，百位上的数字同个位上的数字，所以三位数的回文数中偶数的个数为，
故选:A.
8．B
先确定百位，由分步乘法原理求解
【详解】
由题意可知，百位上的数字为2或3，十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字，个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个，
故比200大的3位数的个数为.
故选：B
9．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
10．D
分三步，第一步先从01至10中选3个连续的号，再从11至20中选2个连续的号，然后从21至30中选1个号，最后从31至36中选1个号，由分步乘法计数原理求解.
【详解】
从01至10中选3个连续的号共有8种选法；
从11至20中选2个连续的号共有9种选法；
从21至30中选1个号共有10种选法；
从31至36中选1个号共有6种选法，
所以共有种选法，要花元．
故选：D
11．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
12．C
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.
【详解】
分两步，由题设四棱锥的顶点S,A,B 所染颜色互不相同，则共有5×4×3=605×4×3=60 ，
当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C 染2 ，则DD可染33或4或5，
共三种，若C 染4 ，则D 可染3 或5，共2种，若C 染5 ，则D 可染3 或4，共2种，
即当S,A,B染好时，C,D 还有7 种染法，所以共有60×7=420 ，
故选:C.
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理综合应用，属于中档题.两个原理的应用不是孤立的，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
13．12
分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4， 4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案.
【详解】
当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.
当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，
当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，
根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.
故答案为：12
14．
利用乘法原理即可.
【详解】
每位上的数字有10个数字可选，由乘法原理总共有种.
故答案为:
15．12
分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意可得，
①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．
②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．
故答案为：
16．2n(n－1)
先根据圆周上有2n个等分点，得到n条直径，再得到每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形数，然后利用分步计数原理求解.
【详解】
由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成三角形，
因为有2n个等分点，
所以应有n条直径，
每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，
所以可有2n-2个直角三角形，
由分步计数原理知共有个直角三角形，
故答案为：
17．360
方法1：由题意，分四种情况分类讨论，（1）甲校安排1名教师；（2）甲校安排2名教师；
（3）甲校安排3名教师；（4）甲校安排4名教师，再由分类计数原理，即可求解；
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，分别求解，再由分类计数原理，即可求解.
【详解】
方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：
（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；
（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；
（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；
（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；
由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，
（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；
（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；
（3）对于第三种情况，共有（种）；
综上所述，共有（种）分配方案.
本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
18．384（种）
等于7的数字可分成三组：，，，第一行的排法种数为种，第二行的排法种数为种，第三行有2种排法，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，
记，，．
第一步，排第一行的两个数字，先从，，三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为．
第二步，排第二行的两个数字，先从，，中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为．
第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．
由分步乘法计数原理，知不同的排法共有（种）．
19．(1)48
(2)144
(3)120
(4)384
（1）先把甲，乙排在两端，其他4人排中间即可，
（2）除甲乙丙外，剩余的3人先排列，再把甲，乙捆在一起看成整体与丙去插空即可，
（3）除甲乙丙外，剩余的3人从6个位置中选3个位置排列，然后剩下的3个位置由甲乙丙按从左到右的顺序排即可，
（4）先让乙从中间4个位置中选1个，再由甲从除最左端外的4个位置中选1个，然后剩下4人排在剩余的4个位置即可
(1)
由题意得先把甲，乙排在两端，其他4人排中间，
所以由分步乘法原理得，共有种方法
(2)
由题意得除甲乙丙外，剩余的3人先排列，有种方法，
然后把甲，乙捆在一起看成整体与丙去插空，有种方法，
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
(3)
由题意得，除甲乙丙外，剩余的3人从6个位置中选3个位置排列，有种方法，
然后剩下的3个位置由甲乙丙按从左到右的顺序排，有1种方法
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
(4)
由题意得，先让乙从中间4个位置中选1个，有种方法，
再由甲从除最左端外的4个位置中选1个，有种方法，
然后剩下4人排在剩余的4个位置，有种方法
所以由分步乘法原理可得，共有种方法
20．（1）；（2）.
（1）三个回合中，所有可能共8个结果，其中满足题意的情况共3种，从而得到结果；
（2）打完四回合的所有可能共10个结果，其中满足题意的情况共2种，从而得到结果.
【详解】
（1）用表示事件“一回中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是，AAA，A，，共8个结果，其中只有三个结果，甲队得1分.
设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球.甲队得1分”为事件，则，
所以，甲队得1分的概率为；
（2）打完四回合的所有可能结果是：
，共10个结果，其中只有两个结果，甲队第四回合比乙队多2分，甲获胜.设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件，则.
所以，甲队在第四回合获比赛胜利的概率为.
方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
21．（1）7680种；（2）1152种.
(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得；
(2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
【详解】
（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，
由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；
（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，
第三步，排，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
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