6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习
一、单选题
1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
2．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
3．2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中4位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的2位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（ ）
A．135 B．360 C．90 D．270
5．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
7．某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
9．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
10．设，的个位数字为，十位数字为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久 风格独特，规模宏大 结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A． B． C． D．
12．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
13． 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种.
A． B．3 C． D．
14．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
15．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
二、填空题
16．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
17．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是___________.(用数字作答)
18．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
三、解答题
19．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(3)甲、乙、丙三人至多2人当选.
20．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法.
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.
21．（1）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？
（2）已知集合，，从集合A中选3个元素，从集合B中选2个元素，能组成多少个含有5个元素的集合？
22．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
2．D
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
3．C
先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．
【详解】
甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，
有，
则共有种，
故选：．
4．A
应用组合数求6个医疗小组选出4位主治医师做调整的方法数，再将所选4为医师分配到其它小组的方法数，最后应用分步乘法求不同方案数.
【详解】
从6个医疗小组选出4位主治医师，有种不同的方法；
不妨设这4位主治医师分别为甲、乙、丙、丁，调整为均不在原来的医疗小组且每组均有1位主治医师，有9种不同的方法．
所以调整的不同方案数为．
故选：A．
5．B
根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】
因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
6．D
根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，
若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，
则有种不同的选取方案，
故选：D．
7．B
分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.
【详解】
1、人脸识别方向不安排其它研究生，则种.
2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则种.
综上，共有360种分配.
故选：B
8．D
根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】
首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
9．D
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
10．A
根据，可得当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，从而可得的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，求出即可得解.
【详解】
解：因为，
所以当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，
所以的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，
，
所以的个位数字和十位数字分别为4和1，
所以，
所以.
故选：A.
11．A
分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形 五角形相邻，利用捆绑法求解.
【详解】
当圆形排在第一个，因为方形 五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形 五角形内部排列 ，
有种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形 五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
12．C
先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】
将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
13．A
首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组.从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3的全排列.再把这3个小组作为3个元素分到3个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果.
【详解】
属于平均分组且排序型，共有种.
故选：A.
本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.
14．C
15．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
16．96
通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】
解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．
17．72
按构成的四位数中含数字1的个数分类求解即得.
【详解】
完成构成四位数这件事有分三类：
四个数字中有1个“1”：共有个；
四个数字中有2个“1”：共有；
四个数字中有3个“1”：共有，
由加法计数原理得排出不同的四位数的个数是24+36+12=72个.
故答案为：72
思路点睛：解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
18．1560
由题可得有两种情况，①有1组3本，其余3组每组1本，②有2组每组2本，其余2组每组1本，分别求出即可.
【详解】
把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有 (种)；
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有 (种)．
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有 (种)．
故答案为：1560.
本题考查排列组合问题，解题的关键是正确理解分配方式，做到不重不漏.
19．(1)36；
(2)126；
(3)756﹒
(1)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选2人即可；
(2)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选4人即可；
(3)从所有选法中去掉甲、乙、丙均当选的情况即可.
(1)
甲、乙、丙都入选，余下9人中选2人，有种选法；
(2)
甲入选，乙、丙不能当选，则要在余下的9人中选4人，有种选法；
(3)
所有的选法种数为，甲、乙、丙都入选有种选法，故有种选法.
20．（1）1024种；（2）120种；（3）240种.
（1）根据分步计数原理求解即可；
（2）根据分步计数原理求解即可；
（3）利用部分平均分组的方法求解即可；
【详解】
（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，
由分布计数原理知共有种.
（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多报一项，因此可由项目选人，
第一个项目有5种不同的选法，第二个项目有4种不同的选法，
第三个项目有3种不同的选法，第四个项目有2种不同的选法，
由分步计数原理得共有报名方法种.
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，
故此需将5人分成4组，有种.
每组参加一个项目，由分步计数原理得共有种.
21．（1）1360；（2）106
(1)将给定的前30个正整数按除以3余数相同的形成3个数集，再利用分类加法计数原理列式计算即可；
(2)按含有中元素个数以及有中元素时，这个元素的来源分类，再利用分类加法计数原理列式计算即得.
【详解】
（1）把这30个数分成三类，形成三个集合，被3整除的数集，
被3除余1的数集，被3除余2的数集，
每个集合各有10个元素，三个数的和是3的倍数的取法有两类：
第一类：在同一集合内取三个数，取法为，
第二类：每个集合内各取一个数，取法为，
根据分类加法计数原理，所求取法种数为（种）；
（2）由于，而由集合元素的无序性及互异性，可判断这是组合问题，因元素不能重复，应对5和6这两个元素分别进行讨论，
①不选5和6，则有种，
②在中选1个，则：在中选2个，在中选2个，共有种，
在中选3个，在中选1个，共有种，
③在中选2个，则：
在中选1个，而在中选2个，共有种，
在中选2个，而在中选1个，共有种，
在中选3个，而在中不选，共有种，
综上所述，根据加法原理，共有
（种）.
所以共有106个含有5个元素的集合.
22．7200
先选后排，根据分步计数原理和排列数，组合数公式即可求出.
【详解】
从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法，从2，4，6，8中任取两个数有种方法，
再把取出的5个数全排列共有，
故一共可以组成7200个没有重复数字的五位数.
答案第1页，共2页
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