6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 485.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-14 02:08:16 | ||
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文档简介
选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
2．的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．－120 C．60 D．30
3．的展开式中的系数为
A． B． C．64 D．-128
4．已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
6．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
7．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
9．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
10．展开式中的系数为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
11．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A．14 B． C．240 D．
12．若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1023 D．1024
二、填空题
13．设，则______， ______．
14．已知，则___________.
15．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为______．
16．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为________．
三、解答题
17．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在的展开式中，_____．
（1）求的值；
（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．
18．已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．在二项式的展开式中.
（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；
（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.
20．已知.
（1）若展开式中各项系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
21．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解
【详解】
因的展开式中所有项的系数和为192，则当时，，解得，
从而有展开式的通项为，
因此，在中，当，即时，与相乘可得常数项， 当，即时， 与2相乘可得常数项，
于是得：，
所以展开式中的常数项为36.
故选：B
2．A
由，作为一个二项式，展开求得含有的项，再在的展开式中确定项的系数，由乘法可得结论．
【详解】
，展开式的第项为，令，可得第3项为.
而的展开式的第项为，令，可得第3项为.
所以的展开式中，的系数是.
故选：A.
3．D
先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.
【详解】
展开式的通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数为.
故选：D
4．B
由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【详解】
∵，展开式中的系数为，
∴则
，
故选：B．
本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可.
5．C
运用二项式展开式可得被7除得余数为1，即可得结果．
【详解】
所以被7除得余数为1，故经过天后是星期四
故选：C
6．D
根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】
由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
7．C
根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
8．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
9．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
10．A
先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案.
【详解】
展开式的通项公式，可得
展开式中含项：
即展开式中含的系数为.
故选：A.
11．C
由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．
【详解】
二项展开式的第项的通项公式为，
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
可得：，解得：.
所以，
令，解得：，
所以的系数为，
故选：C.
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
12．C
利用赋值法求解，先令，求出，再令，求出，从而可求得答案
【详解】
解：令，则，
令，则，
所以，
故选：C
13． 64 15
根据式子的特点，选用特殊值代入法，令 ，可得.
以及可得.
【详解】
由，
令 ，可得.
又，
所以 .
故答案为：64；15.
熟悉这类题目的特点，选用合适的特殊值达到解题目的.
14．
由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.
【详解】
，则展开式通项为，
∴时，
故答案为：
15．2
首先写出二项式的通项，根据项的系数为，得到，，再利用重要不等式的性质即可得到的最小值.
【详解】
，
因为展开式中项的系数为，令，解得.
所以，即.
则，当且仅当时，取“”号.
故答案为：
16．7、8、9
根据二项式系数的性质确定的值．
【详解】
由题意的展开式中第5项的二项式系数最大，
当为偶数时，，当为奇数时，中间两项二项式系数最大，则或．
故答案为：7、8、9．
17．（1）条件选择见解析，；（2）1．
（1）选①，则由计算出.选②，则由第项的二项式系数最大求得.选③，则由求得.
（2）化简展开式的通项公式，根据其常数项为求得，利用赋值法求得展开式中所有项的系数的和.
【详解】
（1）选①：因为，所以n＝8；
选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；
选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；
（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，
令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．
18．（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187.
利用赋值法，分别将，，代入二项展开式中，求出部分项的系数之和，得出①②③式；
（1）由②-①，即可得的值；
（2）由(②-③)，即可得的值；
（3）由(②+③)，即可得的值；
（4）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（2）和（3）中的结果求解即可．
【详解】
解：令则①；
令则②；
令则③；
（1）②-①得：；
（2）(②-③)得：；
（3）(②+③)得：；
（4）由展开式可知均为负值，均为正值，
则.
关键点点睛：本题考查二项式展开式的系数和问题，由于二项式定理中的字母可取任意数或式，所以利用赋值法是求解二项展开式各项系数和的关键，考查计算和转化能力．
19．（1），；（2）.
（1）由题意得，化简为，解得n的值，可以写出结果；
（2）由题意得，解得n=19，在的展开式中，分别令和，得到2个式子，相减可得要求式子的值．
【详解】
（1）在二项式的展开式中，前3项的二项式系数和为，
化简为，解得或（舍），二项式为，展开式共有12项，
则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，和.
（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得，计算得，二项式为.
在中，
令，则，①
令，则，②
①+②得，奇次项系数和为.
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题．
20．（1），；（2）.
（1）利用赋值法列方程，由此求得，求出二项式系数即可得求解；
（2）根据“展开式中前3项的二项式系数之和等于79”列方程，化简求得的值，通过列不等式组的方法求得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）令，得，解得，
所以的展开式中二项式系数分别为，，，，，，
其中最大的是和，
所以展开式中二项式系数最大的项为第项或第项，
其中，.
（2）由题意可得：，
所以，解得或（舍去）.
设第项的系数最大，
因为，
则，即
所以解得，所以，
所以展开式中系数最大的项为第11项，.
21．（1）；（2）．
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
2．的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．－120 C．60 D．30
3．的展开式中的系数为
A． B． C．64 D．-128
4．已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
6．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
7．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
9．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
10．展开式中的系数为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
11．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A．14 B． C．240 D．
12．若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1023 D．1024
二、填空题
13．设，则______， ______．
14．已知，则___________.
15．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为______．
16．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为________．
三、解答题
17．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在的展开式中，_____．
（1）求的值；
（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．
18．已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．在二项式的展开式中.
（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；
（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.
20．已知.
（1）若展开式中各项系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
21．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解
【详解】
因的展开式中所有项的系数和为192，则当时，，解得，
从而有展开式的通项为，
因此，在中，当，即时，与相乘可得常数项， 当，即时， 与2相乘可得常数项，
于是得：，
所以展开式中的常数项为36.
故选：B
2．A
由，作为一个二项式，展开求得含有的项，再在的展开式中确定项的系数，由乘法可得结论．
【详解】
，展开式的第项为，令，可得第3项为.
而的展开式的第项为，令，可得第3项为.
所以的展开式中，的系数是.
故选：A.
3．D
先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.
【详解】
展开式的通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数为.
故选：D
4．B
由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【详解】
∵，展开式中的系数为，
∴则
，
故选：B．
本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可.
5．C
运用二项式展开式可得被7除得余数为1，即可得结果．
【详解】
所以被7除得余数为1，故经过天后是星期四
故选：C
6．D
根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】
由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
7．C
根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
8．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
9．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
10．A
先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案.
【详解】
展开式的通项公式，可得
展开式中含项：
即展开式中含的系数为.
故选：A.
11．C
由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．
【详解】
二项展开式的第项的通项公式为，
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
可得：，解得：.
所以，
令，解得：，
所以的系数为，
故选：C.
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
12．C
利用赋值法求解，先令，求出，再令，求出，从而可求得答案
【详解】
解：令，则，
令，则，
所以，
故选：C
13． 64 15
根据式子的特点，选用特殊值代入法，令 ，可得.
以及可得.
【详解】
由，
令 ，可得.
又，
所以 .
故答案为：64；15.
熟悉这类题目的特点，选用合适的特殊值达到解题目的.
14．
由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.
【详解】
，则展开式通项为，
∴时，
故答案为：
15．2
首先写出二项式的通项，根据项的系数为，得到，，再利用重要不等式的性质即可得到的最小值.
【详解】
，
因为展开式中项的系数为，令，解得.
所以，即.
则，当且仅当时，取“”号.
故答案为：
16．7、8、9
根据二项式系数的性质确定的值．
【详解】
由题意的展开式中第5项的二项式系数最大，
当为偶数时，，当为奇数时，中间两项二项式系数最大，则或．
故答案为：7、8、9．
17．（1）条件选择见解析，；（2）1．
（1）选①，则由计算出.选②，则由第项的二项式系数最大求得.选③，则由求得.
（2）化简展开式的通项公式，根据其常数项为求得，利用赋值法求得展开式中所有项的系数的和.
【详解】
（1）选①：因为，所以n＝8；
选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；
选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；
（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，
令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．
18．（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187.
利用赋值法，分别将，，代入二项展开式中，求出部分项的系数之和，得出①②③式；
（1）由②-①，即可得的值；
（2）由(②-③)，即可得的值；
（3）由(②+③)，即可得的值；
（4）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（2）和（3）中的结果求解即可．
【详解】
解：令则①；
令则②；
令则③；
（1）②-①得：；
（2）(②-③)得：；
（3）(②+③)得：；
（4）由展开式可知均为负值，均为正值，
则.
关键点点睛：本题考查二项式展开式的系数和问题，由于二项式定理中的字母可取任意数或式，所以利用赋值法是求解二项展开式各项系数和的关键，考查计算和转化能力．
19．（1），；（2）.
（1）由题意得，化简为，解得n的值，可以写出结果；
（2）由题意得，解得n=19，在的展开式中，分别令和，得到2个式子，相减可得要求式子的值．
【详解】
（1）在二项式的展开式中，前3项的二项式系数和为，
化简为，解得或（舍），二项式为，展开式共有12项，
则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，和.
（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得，计算得，二项式为.
在中，
令，则，①
令，则，②
①+②得，奇次项系数和为.
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题．
20．（1），；（2）.
（1）利用赋值法列方程，由此求得，求出二项式系数即可得求解；
（2）根据“展开式中前3项的二项式系数之和等于79”列方程，化简求得的值，通过列不等式组的方法求得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）令，得，解得，
所以的展开式中二项式系数分别为，，，，，，
其中最大的是和，
所以展开式中二项式系数最大的项为第项或第项，
其中，.
（2）由题意可得：，
所以，解得或（舍去）.
设第项的系数最大，
因为，
则，即
所以解得，所以，
所以展开式中系数最大的项为第11项，.
21．（1）；（2）．
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
答案第1页，共2页
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