7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．随机变量满足分布列如下：
0 1 2
P
则随着的增大（ ）A．增大，越来越大
B．增大，先增大后减小
C．减小，先减小后增大
D．增大，先减小后增大
2．设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则
A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=
3．若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量表示A在一次试验中发生的次数，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．1
4．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ）
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
5．已知随机变量的取值为.若，，则
A． B． C． D．
6．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，随机变量的分布
0 1
P a b
则当a在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
8．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
9．设，随机变量X的分布列是
X 0 1 2
P a b
则的取值范围是（ ）A． B． C． D．
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
11．设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
12．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）：
每天前8小时的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 15 16 16 13 y
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
13．随机变量的取值为、、，，，则______.
14．已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，，；若，则___________.
15．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则,若受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为______．
16．已知随机变量的分布列为
0 1 2
若，则______．
17．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36.若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
三、解答题
18．在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分 2分 4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲 乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
19．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上指出：脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点．某农户于2021年初开始种植某新型农作物，已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
该农作物亩产量（kg） 800 1000 该农作物市场价格（元/kg） 40 50
概率 0.4 0.6 概率 0.5 0.5
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为元，求的分布列与均值；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于38000元的概率．
20．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率
21．某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；
方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
结合分布列的性质求出的值以及的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结合函数的性质即可得出结论.
【详解】
因为，所以，
又因为，解得，
所以，随着的增大，增大；
，
因为，所以先增大后减小.
故选：B.
2．B
利用概率的性质列方程可求得，根据分布列和期望公式可求出、、，从而可得答案.
【详解】
因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，
所以P(X>)=+，
P(X<4a)=P(X<)=，
E(X)=×+×+×+×.
故选：B.
本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.
3．C
由题意可得随机变量的可能取值为0，1，且有，，从而可求出，代入中化简后利用基本不等式可求出其最大值
【详解】
随机变量的可能取值为0，1，且有，，
∴，，
∴，
∵，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，取得最大值0．
故选：C．
4．B
根据期望的计算方法，即可求解.
【详解】
由题意，出海的期望效益（元）.
故选：B.
5．C
设，根据，列方程求出，进而求出，即可比较大小.
【详解】
设，
则，则，
解得，，
则，
故，
故选：C.
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
6．D
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
7．D
求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.
【详解】
解：由因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
8．A
根据题中条件，先得出能取的值为，，，；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果.
【详解】
由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
故选：A.
本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型.
9．C
利用分布列的性质求出，进而求得，利用期望公式求得，从而可得答案.
【详解】
由分布列的性质可得，
且，
可得，
由，所以，
因为，
所以
故选：C.
求解一般的随机变量的期望的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.
10．B
设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算为2，4的概率，为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.
【详解】
解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
，
故．
故选：B
11．D
研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
12．B
根据题设表格数据写出购进17份有机蔬菜利润、购进18份有机蔬菜利润的分布列，进而求出各自期望，由及题设条件，求x的范围即可.
【详解】
设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为，购进18份有机蔬菜时利润为，
则的分布列如下表所示：
65 75 85
P
所以.
的分布列如下表所示：
60 70 80 90
P
所以.
由题意知，，即，解得，
又且，则且，即x的取值集合是.
故选：B.
13．
设，可得出，可求出的表达式，利用方差公式可求出的值，即可求出的值.
【详解】
设，其中，可得出，
，
，解得，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
14．
根据概率的性质和分布列均值解出，，再利用方差公式求解.
【详解】
由题意知：，
解得，
所以
.
故答案为：.
本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题.
15．
结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
16．
根据变量间的关系计算新的均值．
【详解】
由概率分布列知．
．
本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．
17．0.4
先求出A，B两市受台风袭击的概率，再分别求出X取不同值的概率，即可求出期望.
【详解】
设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，
则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
故答案为：0.4.
18．(1)
(2)乙
（1）先求其对立事件的概率即可.
（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可.
(1)
设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
(2)
设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以,
所以，所以乙的得分能力更强.
19．（1）分布列见解析；；（2）
（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（2）设事件表示“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于38000元”，求出（C），设这三年中有年有纯收入不少于38000元，则，由二项分布的概率分析求解即可．
【详解】
解：（1），，，，
所以的可能取值为30000，38000，48000，
设事件为“作物亩产量为”，则，
事件为“作物市场价格为40元”，则，
故，
，
，
所以的分布列为：
30000 38000 48000
0.2 0.5 0.3
；
（2）设事件表示“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于38000元”，
则，
设这三年中有年有纯收入不少于38000元，
则，
故这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于38000元的概率为：
．
20．(1)；(2)见解析；(3) 当时，可以提高整个系统的正常工作概率.
（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；
（2）设为维修维修的系统的个数，根据题意可得，从而得到，利用公式写出分布列，并求得期望；
（3）根据题意，当系统有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.
【详解】
（1）系统不需要维修的概率为.
（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，
所以.
所以的分布列为
0 500 1000 1500
所以的期望为.
（3）当系统有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.
若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中有两个正常工作，
同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统均能正常工作，则概率为.
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，
于是由知，当时，即时，
可以提高整个系统的正常工作概率.
该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.
21．(1)应选择方案① ，理由见解析；
(2)，
（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；
（2）依据题给条件即可求得的值．
(1)
若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．
，，
，，
所以．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，
则，，，，
因为，所以应选择方案①．
(2)
依题意得，
的可能取值为10，5其分布列为
10 5
P
所以，则，
由得，
所以为等比数列．其中首项为，公比为．
所以，故．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页