1.1空间向量及其运算 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第一册 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、单选题
1．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
3．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
9．已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
10．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
12．若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
13．下列说法错误的是（ ）
A．设，是两个空间向量，则， 一定共面
B．设，是两个空间向量，则
C．设，，是三个空间向量，则 ，，一定不共面
D．设，，是三个空间向量，则
14．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、填空题
16．已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是__________.
17．已知 ，则____________．
18．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.
三、解答题
19．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，，E为PC的中点，试用：，，表示向量．
20．如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与所成角的余弦值．
21．已知，，，，，求，，.
22．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】
，
故，，，则．
故选：C.
2．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
3．B
先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
4．D
根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出的坐标表示.
【详解】
因为，所以，
故选：D.
本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.
5．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
6．A
结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
7．C
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
)-()＝．
故选：C．
8．D
根据向量数量积的应用，由以及模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以
．
故的长为．
故选：D．
本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
9．A
利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值.
【详解】
向量，，，向量与向量，，平行，
存在实数使得，坐标化得到：
，解得．
故选：A．
10．C
根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】
故选：C
11．C
根据空间向量的运算法则直接计算即可判断.
【详解】
，①错；
，②错；
，③对；
，④对．
故选：C．
本题考查空间向量的运算，属于基础题.
12．D
根据空间向量共面定理判断．
【详解】
当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
13．C
由向量的平移可判断，；由向量数量积满足交换律 分配律可判断，.
【详解】
，设，是两个空间向量，则，一定共面，正确，因为向量可以平移；
，设，是两个空间向量，则，正确，因为向量的数量积满足交换律；
，设，，是三个空间向量，则，，可能共面，可能不共面，故C错误；
，设，，是三个空间向量，则，正确，
因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律.
故选：.
14．B
建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
15．D
根据，，，，代入计算即可得出结果.
【详解】
解：，分别是对边，的中点，
，.
点在线段上，且分所成的定比为，
.
.
即，，.
故选：D.
16．
由结合已知变形得出，令，可得，，再由另一条件得，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论．
【详解】
由题意，，
因为，所以，
，所以，
令，则，且，
，
由得，
所以，
所以，当且仅当，，共线且，共线时等号成立．
故答案为：．
本题考查空间向量数量积的应用，向量模的绝对值三角不等式，解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，并得出，利用此式，得出的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．实际上本题从向量数量积的几何意义，向量的运算法则可容易得出关系式，本题对学生的转化与化归思想，运算求解能力要求较高，属于难题．
17．
根据和向量数量积运算可得答案．
【详解】
解： ，
所以．
故答案为：．
18．.
先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用结论可得，从而可解得，进而可得.
【详解】
先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，
则四面体体积之比.
事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而
.
设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得
，则，
，则，
所以；
同理可得.
所以，解得，即，从而.
故答案为：.
结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比.
19．
如图，利用空间向量的线性运算计算得解.
【详解】
解：如图：
由题得
所以.
20．（1）证明见解析.（2）．
（1）由，，证明即可.
（2），，根据即可求解.
【详解】
解：（1）证明：，
所以
，
所以．
（2）
，
，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
21．；；-1
利用空间向量的坐标运算和数量积运算即可得出．
【详解】
解：由题可知，，
，
．
本题考查空间向量的坐标运算和数量积运算，考查计算能力．
22．（1）（2）
(1）根据向量的运算性质求出即可；
(2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】
（1），
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
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