1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
3．已知向量,且，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．已知，，那么向量（ ）.
A． B． C． D．
5．已知，，若与共线，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
6．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，分别是平面，的法向量，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．已知向量，，，且，则λ等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，在三棱柱中，侧棱底面,是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是
A．当点为线段的中点时，平面
B．当点为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
11．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点.下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．四边形面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则
D．若，则四棱锥的体积为
二、填空题
13．若，则＝______．
14．在空间中，已知点，在y轴上有一点B使得，则点B的坐标为___________.
15．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
16．已知，，，．若，则实数k的值为______．
三、解答题
17．在空间直角坐标系中标出下列各点：
，，，．
18．在空间直角坐标系Oxyz中，
（1）哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？
（2）写出点在三个坐标平面内的射影的坐标．
（3）写出点关于原点成中心对称的点的坐标．
19．如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
20．是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；
（1）与点M关于轴对称的点；
（2）与点M关于y轴对称的点；
（3）与点M关于z轴对称的点；
（4）与点M关于原点对称的点．
21．已知空间三点，设.
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.
【详解】
由题意得，因为，所以（），
即，解得，
所以.
故选:A
2．D
结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以.
故选：D
3．C
利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得的值，进而得解.
【详解】
∵向量,且，
∴,解得.
∴,
故选：.
4．B
利用向量即可得出．
【详解】
向量，5，，3，，2，，
故选：．
本题考查了向量三角形法则、空间向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．B
由空间向量线性运算的坐标表示可得、，再由向量共线的性质即可得解.
【详解】
∵，，
∴，.
∵与共线，
∴，即.
故选：B.
本题考查了空间向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．B
过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
7．C
设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.
【详解】
设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
8．B
根据，分别是平面，的法向量，且，由求解.
【详解】
因为向量，分别是平面，的法向量，且，
所以，则，
即，
解得 ，
故选：B
9．C
由向量的坐标运算先求出的坐标，由向量的模长公式得到关于的方程，解出方程即可得到答案.
【详解】
由，，则
所以，且
整理可得，所以解得 （ 舍）
故选：C
10．D
本题就是研究在直线上有没有点使得平面，我们就由平面出发推导发现结论或矛盾．
【详解】
是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点，由于，∴是中点，
以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，
，
在坐标平面上，直线方程为，即，在直线上，设，则，又，
若平面，则，
∴，，
，与矛盾，∴直线上不存在点，使与平面垂直．
故选：D．
本题考查线面垂直的判断与性质．解题关键是建立空间直角坐标系，把线面垂直所得线线垂直转化为向量垂直，利用向量的数量积计算．简化了问题的求解．本题也可用三垂线定理及其逆定理分析．
11．B
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，3，，根据空间向量垂直的坐标表示求得，继而得的最小值，连接BP，由线面角的定义得 就是与平面所成的角，故而得的最大值.
【详解】
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
12．B
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出四边形的面积，依据相应条件分别对进行计算，可判断的正确性
【详解】
因为与不垂直，所以与平面不垂直，A不正确.
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.
因为，所以.因为平面，
所以，则，
.若平面，则，
即，，；若平面，则，即，，.因为，
所以四边形的面积.
当时，四边形的面积最大，且最大值为，
点B到直线的距离为，
即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.
若四边形的面积为，则或，解得或，C不正确，
故选：B.
13．
利用空间向量的运算的坐标表示求解即可
【详解】
解：因为
所以，
所以
故答案为：．
14．或
设出点B的坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即得.
【详解】
设点B的坐标为，
依题意得，解得，
所以点B的坐标为或.
故答案为：或
15．11
根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.
【详解】
解析：因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，使 ，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以，解得.
故答案为：11．
16．##
算出、的坐标，然后可得答案.
【详解】
因为，，
所以，
因为，所以，解得
故答案为：
17．答案见解析
建立空间直角坐标，然后标注点即可.
【详解】
建立如下图如示的空间直角坐标系，根据每一个点的特点标注如下图.
18．（1）平面与x轴垂直,平面与y轴垂直,平面与z轴垂直；（2）点在平面的射影的坐标,点在平面的射影的坐标；点在平面的射影的坐标；（3）点关于原点对称点的坐标是．
（1）利用空间直角坐标系求解；
（2）利用点的射影的定义求解；
（3）利用点关于原点对称的求法求解.
【详解】
（1）平面与x轴垂直,平面与y轴垂直,平面与z轴垂直；
（2）点在平面的射影的坐标．
点在平面的射影的坐标．
点在平面的射影的坐标．
（3）点关于原点成中心对称的点的坐标是．
19．证明见解析.
设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.
【详解】
设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
本题主要考查空间向量法证明线面垂直问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
20．（1），（2），（3），（4）.
（1）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（2）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（3）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
（4）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；
【详解】
若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则
（1）与点M关于轴对称的点为
（2）与点M关于y轴对称的点为
（3）与点M关于z轴对称的点为
（4）与点M关于原点对称的点为
21．（1）；（2）或；（3）或.
（1）根据空间向量的夹角公式即得解；
（2）转化为向量数量积为0，即得解；
（3）利用向量共线的坐标公式，即得解.
【详解】
（1）已知空间三点，
（2）若向量互相垂直，
又，则
解得：或
（3）向量共线，又
当时，
当时，，成立，
当时，，不成立，
故：或
本题考查了空间向量夹角、垂直、共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页