1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知是空间的一个基底，若，则（ ）
A．是空间的一组基底
B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在正方体中，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
7．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，空间四边形中，点在线段上，且，为的中点，，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
10．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在平行六面体中，是面的中心，若．给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
13．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．对于不共面的三个向量，，，若，则________，________，________．
17．已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)
18．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
三、解答题
19．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.
20．为四棱锥的棱的三等分点，且.点在上，，四边形为平行四边形．若四点共面，求实数的值．
21．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
22．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
（1）求证： 平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
2．C
根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.
【详解】
假设，即，得，
这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，
故选：C.
3．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
4．A
结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
5．A
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
6．B
以为基底表示出，由此确定的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得，
∵，∴x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1，
故选：B
本小题主要考查用基底表示向量，考查空间向量基本定理，属于基础题.
7．D
取的中点，连接，，再利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理即可求解.
【详解】
取的中点，连接，
则
，
又因为，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
8．C
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
)-()＝．
故选：C．
9．B
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
因为，
，
所以，，.
故选：B.
10．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
11．D
根据空间向量的线性运算表示向量，可得各数值，逐一判断即可.
【详解】
如图所示：
，
即，，，
所以，①正确；
，②正确；
，③正确；
，④正确；
，⑤错误；
故选：D.
12．C
空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】
解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.
13．B
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
14．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
15．C
借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.
【详解】
结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
16． 1 0 3
结合已知条件，对应系数相等得到方程组，解之即可求出结果.
【详解】
因为，所以对应系数相等可得，解得，
故答案为：1；0；3.
17．
利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．
【详解】
，，，，．
．
故答案为：
18．
由题得存在，使得，解方程组即得解.
【详解】
若向量，，共面，则存在，使得，
∴，
∴解得．
故答案为：
本题主要考查共面向量定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
19．证明见解析.
根据题目写出已知和求证，设，，，
由可得，从而，即.
所以，即，同理可证，.
【详解】
已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且.
求证：，，.
证明：设，，，
则，
，
由可得，则，
所以，
由此可得，
所以，即.
所以，即，同理可证，.
故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.
20．．
利用空间向量的线性运算，根据空间向量基本定理的推论：四点共面的条件，得到的值.
【详解】
解：如图:
因为为棱的三等分点，且，∴，∴；
又∵点在上，，∴.
∴
,
又因为四点共面，且不共面，
所以，
解得．
21．（1）；（2）.
（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分别求得，，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
22．（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）
如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，
可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，
可得 平面；
（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，
设菱形的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),
可得：,,设异面直线与所成角为，
可得，
（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,,设平面EBD的一个法向量为，
可得，,可得的值可为，由
可得与平面所成角的正弦值为
=.
本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
答案第1页，共2页
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