1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．将边长为的正方形及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
4．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（ ）
①平面的法向量与平面的法向量垂直；
②异面直线与所成的角为；
③四面体有外接球；
④直线与平面所成的角为.
A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④
10．已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
14．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为___________．
15．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
16．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
17．已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则以下结论正确的是______．（写出所有正确结论的编号）
①是正三角形；
②平面平面；
③直线CG与平面所成角的正切值为：
④当时，多面体的体积为．
三、解答题
18．已知在三棱柱中，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
20．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
21．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．
【详解】
解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
又点到平面的距离为1，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
故选：B．
2．A
取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.
【详解】
取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，则，
设，直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故选：A.
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
3．B
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；
【详解】
解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
4．B
利用基底向量表示出向量，，即可根据向量的夹角公式求出．
【详解】
如图所示：不妨设棱长为1，
，，
所以＝＝，
，，
即，故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B．
5．B
设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.
【详解】
设平面的法向量为，
则有取，则.
所以．因为，
所以平面的一个单位法向量可以是.
故选：B
本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题.
6．B
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
7．C
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
8．C
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
9．C
①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过、作、的平行线且交于，连接，则就是异面直线与的夹角，设求相关边的长度，再应用余弦定理求；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定与平面所成的角是，即知线面角的大小.
【详解】
①平面的法向量与平面的法向量垂直，而与平面的法向量不垂直，故错误；
②过作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点，联结，则就是异面直线与的夹角，过作，联结、，
若，则，
由，面面，面面，面，
∴面，面，则，同理可证，
∴，，易得，故错误；
③由于所有的四面体都有外接球，故正确；
④因为平面，所以与平面所成的角是，正确.
故选：C
10．B
根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.
【详解】
,即,不一定有∥,也可能
“”是“∥”的不充分条件
∥,可以推出,
“”是“∥”是必要条件,
综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.
故选:B.
本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.
11．A
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.
【详解】
因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
12．A
先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】
如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
13．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
14．60°##π3
设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，用向量法求出侧面与底面的夹角.
【详解】
设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，．
以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
显然平面的法向量为．
所以，
所以侧面与底面的夹角为．
故答案为：.
15．①③④
建立空间直角坐标系：①判断是否为零即可；②判断是否为零即可；③分别求得平面面和平面EFN的一个法向量，判断两个法向量是否共线即可；④由判断即可.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体棱长为3，
①因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确；
②因为,，所以，所以与不垂直，故错误；
③由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；
④因为，则，所以，则，所以，，，四点共面，故正确，
故答案为：①③④
方法点睛：1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合) ν1∥ν2 v1＝λν2.
(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使ν＝xν1＋yν2．
(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或l α ν⊥u u·ν＝0．
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2 u1＝λu2.
2．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2 ν1⊥ν2 ν1·ν2＝0．
(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α ν∥u v＝λu．
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
16．
以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,用向量法求解.
【详解】
如图所示,以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
设正方体边长为2,可得
设，可得可得,可得.
设平面的一个法向量，则有，即
不妨令x=-2，则.
因为平面，所以，
解得：，即.
故答案为：.
17．①③
利用以及面面垂直的性质定理证明平面，再利用平面几何知识证明，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用两点间距离公式，即可判断选项①，利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量垂直的充要条件，即可判断选项②，利用向量的夹角公式以及同角三角函数关系，即可判断选项③，以ABCD为底面，以OH为高将几何体ABCD﹣EFGH补成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，利用长方体的体积公式以及棱锥的体积公式求解，即可判断选项④．
【详解】
分别取CD，AB的中点O，M，连接OH，OM．
在题图1中，因为A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，
所以．
又因为O为CD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面．
所以平面，所以平面ABCD．
在题图1中，设正方形EFGH的边长为（）．
则四边形ABCD的边长为2a．
在题图1中，和均为等腰直角三角形，
得，所以，
故四边形ABCD是边长为2a的正方形．
因为O，M分别为CD，AB的中点，
所以且，，
所以四边形BCOM为矩形，所以．
以O为坐标原点．OM，OC，OH所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
．，，．
对于①，由空间中两点间的距离公式，得，
所以是正三角形，故①正确．
对于②，，，
设平面AEF的法向量为，
所以有取，得．
因为，，
设平面CGH的法向量为，
所以有取，得，
所以，
所以平面AEF与平面CGH不垂直，故②错误．
对于③，因为，
设直线CG与平面AEF所成的角为，则，
所以，故，故③正确．
对于④，以四边形ABCD为底面，以OH为高将几何体
补成长方体，
则E，F，G，H分别为，，，的中点．
因为，即，则，
所以长方体的体积为，
，
所以多面体的体积为
，故④错误．
故答案为：①③.
关键点点睛：本题的关键是在该几何体中适当建立直角坐标系，利用向量法解决几何问题.同时在计算体积时，利用“割补法”更为简单.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）由线线垂直可得平面，再由线面垂直性质，可得平面；
（2）利用向量法求二面角的余弦即可.
【详解】
（1）证明：在三棱柱中，四边形为平行四边形.
因为，所以四边形为菱形.
则.
因为，且，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，
所以，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则取，得.
平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
19．（1）证明见解析；（2）．
（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.
（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．
【详解】
解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
20．（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果.
【详解】
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
设正方体棱长为
则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，
设平面的法向量
，令，则，
，解得：
棱上存在点，满足，使得平面
本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，平面，，平面.
（2）取中点，连结，
为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为，
，
由图形可知：二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
答案第1页，共2页
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