浙江省杭州市西湖高级中学2012-2013学年高二3月月考数学（理）试题

一、选择题（每小题4分，共40分）
1、在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2、设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）
A、ad－bc=0 B、ac－bd=0 C、ac+bd=0 D、ad+bc=0
3、在区间上的最大值是（ ）
A、－2 B、0 C、 2 D、4
4、已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则 的值为（ ）
A、f’(x0) B、2 f’(x0) C、-2 f’(x0) D、0
5、f(x) =ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）
A、 B、 C、 D 、
6、设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,)和(,1)内分别为（）
A、单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增
C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减
7、曲线y=x3+x-2?在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）
A、(0,1) B、(1,0) C、(-1,0) D、(1,4)
8、设 y=loga (a>0,a≠1)，则y’=( )
A、 B、lna C、—logae D、logae
9、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
10、当时，有不等式 （ ）
　 A、 　　 B、当时 ，当时
　 C、　　　 D、当时，当时
二、填空题（4小题，共20分）
11、y=x2ex的单调递增区间是
12、函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是 。
13、观察圆周上n个不同点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，即……，由此规律可归纳得出 。
14、已知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的导数记为，则下列结论正确的是 .（填序号）
① 是方程的根；②1是方程的根；③ 有极小值；
④有极大值 ； ⑤ 。
15、若三角形的内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积；根据类比的思想，若四面体的内切球的半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积＝ 。
三、解答题（每小题10分，共40分）
16．用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．
17、设函数f(x)=
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
18、已知，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，利用①的结论求的最大值。
19、把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为cm的相等的正方形，然后折成一个高度为cm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，
（Ⅰ）用和表示出长方体的体积的表达式，并给出函数的定义域；
（Ⅱ）问取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
第二部分：加试题
（说明：月考成绩为第一部分得分除以2再加上第二部分得分）
2.若f（x）=x3-ax2-3x在x∈[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围 ▲
3．若不等式＞0对于满足条件＞＞的实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
4．已知直线与抛物线交于两点，且，又于， 若动点的坐标满足方程，则 ▲ ．
二、解答题：（每题15分，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.如图：在直三棱柱中，，．
（Ⅰ）若异面直线与所成的角为，求棱柱的高；
（Ⅱ）设是的中点，与平面所成的角为，
当棱柱的高变化时，求的最大值．
16.已知函数（b为常数）．
（Ⅰ）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范 围；
参考答案
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝
那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2＝
＝＝
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
17. 解析由已知得，令，解得 。
（Ⅰ）当时，，在上单调递增；……………4分
当时，，随的变化情况如下表：
0
+
0
0
极大值
极小值
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；
在上单调递增。 ………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数 在处取得极大值，在处取得极小值
18、（一）①证明，
两式相加可得
当且仅当时等号成立
②
则，当且仅当时等号成立。
19.、解析：（1）设长方体高为cm，则底面边长为，
长方体容积（单位：cm3） ；
∵. 即函数定义域为，
（2）
令于是
x
（0，10）
10
（10，30）
V'（x）
+
0
－
V（x）
↑
↓
①当在x=10时，V取得最大值为
；
②当取得最大值
.
加试部分
1. 2. 3. （-∞,4） 4.4
5 解法1：（Ⅰ）由三棱柱是直三棱柱可知，即为高，
如图1，因为，所以是异面直线与所成的角或其补角，
连接，因为，所以.
在Rt△中，由，，可得. 3分
又异面直线与所成的角为，所以，即△为正三角形.
于是.
在Rt△中，由，得，即棱柱的高为. 6分
（Ⅱ）设，如图1，过点在平面内作于F，则
由平面，平面，得.
而，所以平面.
故就是与平面所成的角，即. 9分
（Ⅰ）因为异面直线与所成的角，所以，… 4分
即，得，解得. ………… 6分
（Ⅱ）由是的中点，得，于是.
设平面的法向量为，于是由，，可得
即 可取， ………… 8分
于是.
而.…… 12分
令，
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故当时，的最大值. ……… 15分
6.解：（Ⅰ）因为，所以，因此，
所以函数的图象在点（）处的切线方程为，…………3分
由得，
由，得……………………7分
（Ⅱ）因为，
所以，