6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积 课件（1）-人教A版高中数学必修第二册(共27张PPT)

(共22张PPT)
人教2019A版必修 第二册
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物
理背景和数量积
第六章 　平面向量及其应用
数乘定义：
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
复习回顾
运算律：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a
② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
思考
一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
θ
s
F
F
标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
向量的夹角
O
A
B
O
A
B
O
A
B
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
O
A
B
思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
平面向量的数量积的定义
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定
夹角
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
说明：
（2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
数量积符号由cos 的符号所决定
例1.已知
解：
=-10
解：由 得
因为 所以 。
A
B
C
D
A1
B1
这种变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量
O
M
N
M1
叫做向量 在向量 上的投影向量
O
M
N
M1
探究：如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 ，
那么 与 之间有怎样的关系？
当 为锐角时，
所以，
当 为直角时，
所以，
当 为钝角（如图（3））时，
即
当 时，
所以
当 时，
所以
综上，对任意的 都有
探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？
(3)当向量 与 共线同向时， ；
当向量 与 共线反向时， .
特别地， 或
(4)
θ=90
θ=0
θ=180
︱cosθ︱≤1
设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
牛刀小试:
为钝角三角形
为直角三角形
达标检测
4.已知 为单位向量，且 的夹角 为 ，求向量 在 上
的投影向量。
解：向量 在 上的投影向量为
课堂小结：
1、向量的数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做 与 的数量（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0．
课堂小结：
4、向量数量积的性质
5. 常用︱a︱＝ 求向量的模.
　　　
　常用　　　　　　求向量的夹角.