近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编 专题09 平面解析几何（Word含答案解析）

专题09 平面解析几何
1.【2021年·全国乙卷（理）】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
2.【2021年·全国乙卷（文）】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为( )
A. B. C. D.2
3.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
4.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.【2021年·全国甲卷（理）】已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】已知，直线，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．2 B．3 C．4 D．8
8.【2020年·新高考Ⅰ卷】（多选）已知曲线，( )
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是圆，其半径为
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，则是两条直线
9.【2021年·全国乙卷（理）】已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_____________.
10.【2021年·全国乙卷（文）】双曲线的右焦点到直线的距离为___________.
11.【2020年·新高考Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则_________.
12.【2021年·全国甲卷（理）】已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.
13.【2020年·新高考Ⅰ卷】已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求的方程；
(2)点在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.
14.【2021年·全国乙卷（文）】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.
15.【2021年·全国乙卷（理）】已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.
（1）求p.
（2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率，二次函数的图象与性质，不等式的求解.由题可得，设，，则有，可得，故，根据题目条件知时，取得最大值，则有，整理得，即，解得，故椭圆离心率，即.
2.答案：A
解析：本题考查椭圆的性质、两点间距离公式、复合函数的最值、极坐标系.由椭圆C的方程：得其上顶点，.由，所以当时，.
3.答案：C
解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M的坐标为，所以.因为，所以，当时，取得最大值9.
4.答案：B
解析：将圆的方程化为标准方程，设圆心为，则，半径.设点为点，过点的直线为，因为，所以点在圆的内部，则直线与圆必相交，设交点分别为.易知当直线时，直线被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心到直线的距离为，则，所以，即弦的长度的最小值为2，故选B.
5.答案：A
解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设，由，可知，，又，，故，解得，所以离心率是.
6.答案：D
解析：通解由①，得，所以圆心.如图，连接，，易知四边形的面积为，欲使最小，只需四边形的面积最小，即只需的面积最小.因为，所以只需最小.又，所以只需直线上的动点到的距离最小，其最小值为，此时，易求出直线的方程为.由得所以.易知四点共圆，所以以为直径的圆的方程为，即②，由①②得，直线的方程为，故选D.
优解因为，所以圆心.
连接，易知四边形的面积为，欲使最小，只需四边形的面积最小，即只需的面积最小.因为，所以只需最小.
又，所以只需最小，此时.因为，所以，所以，排除A，C.
易求出直线的方程为，由得所以.因为点到直线的距离为2，所以直线过点且与相切，所以.因为点在直线上，故排除B.故选D.
7.答案：D
解析：因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
8.答案：ACD
解析：对于选项A，，，方程可变形为，该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；对于选项B，，方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，，该方程表示双曲线，令，正确；对于选项D，，，方程变形为，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.
9.答案：4
解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线可得其渐近线方程为，而其中一条渐近线为，则有，解得，故，所以C的焦距为.
10.答案：
解析：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离.由双曲线的方程，得其右焦点为，所以点到直线的距离为.
11.答案：
解析：由题意得直线方程为，联立方程，得得，，故.
12.答案：8
解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形是矩形，且，，可得.
13.答案：(1)由题设得，解得.
所以的方程为.
(2)设.
若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得
.
于是.①
由知，故，可得.
将①代入上式可得.
整理得.
因为不在直线上，所以，故.
于是的方程为.
所以直线过点，若直线与轴垂直，可得，
由得.
又，可得.解得（舍去），.
此时直线过点.
令为的中点，即.
若与不重合，则由题设知是的斜边，故.
若与重合，则.
综上，存在点，使得为定值.
14.答案：（1）由题意知，所以.
（2）由（1）知，抛物线，.
设点Q的坐标为，则，
，
所以点P的坐标为，
将点P代入C得，整理得，
所以，当且仅当时取最大值，
所以直线OQ斜率的最大值为.
15.答案：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得.
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，直线PA的方程为，又点在抛物线上，所以，所以，同理可得，，
联立从而得到.
设，
联立消去y并整理可得，
所以，即，且，，
所以.
因为，点P到直线AB的距离，
所以①，
又点在圆上，代入得，代入①得，，
而，
所以当时，.