近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编 专题11 概率与统计（Word含答案解析）

专题11 概率与统计
1.【2021年·全国乙卷（文）】在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
2.【2021年·全国乙卷（理）】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()
A. B. C. D.
3.【2021年·全国甲卷（理）】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
4.【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
5.【2020年·全国Ⅱ卷（文）】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
6.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】设O为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. B. C. D.
7.【2019年·全国Ⅰ卷（理）】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()
A. B. C. D.
8.【2019年·全国Ⅱ卷（文）】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
9.【2021年·新高考Ⅰ卷】（多选）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，c为非零常数，则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
10.【2021年·新高考Ⅱ卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，.
（1）已知，，，，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.
11.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
12.【2021年·新高考Ⅰ卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
13.【2020年·新高考Ⅰ卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
14.【2021年·全国乙卷（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
15.【2021年·全国甲卷（文）】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
答案以及解析
1.答案：B
解析：本题考查几何概型的计算.利用几何概型的计算公式，可得.
2.答案：B
解析：本题考查简单的线性规划及其应用、几何概型的概率问题.由题目条件设，，且，则作出对应的平面区域如图所示，可知所求的概率为.
3.答案：C
解析：本题考查古典概型、组合数.所有的排法是，不相邻的排法是，故所求概率为.
4.答案：B
解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则，，，，，，，，其中，故甲与丁相互独立.
5.答案：B
解析：由题意知，第二天在没有志愿者帮忙的情况下，积压订单超过份的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者(名)，故选B.
6.答案：A
解析：根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，中任取3点，其样本空间，共包含10个样本点，记事件E为取到的3点共线”，则事件E包含的样本点为，，共2个，所以.故选A.
7.答案：A
解析：重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有种.故所求概率，故选A.
8.答案：B
解析：将测量过某项指标的3只兔子分别记为，，，剩下的记为，，共有5只.从这5只兔子中任取3只所包含的基本事件总数，基本事件为，，，，，，，，，.记M为“恰有两只兔子测量过该指标”，则事件M发生所包含的基本事件数，即，，，，，.所以所求概率.
9.答案：CD
解析：本题考查统计知识.因为，所以两组样本数据的平均数和中位数发生变化，极差和标准差不发生变化.
10.答案：（1）由题意知.
（2）由题意知.
设，则，，
，.
方程的判别式，
不妨设其两根分别为，，且，由根与系数的关系得，，，则，且，且.
当时，，
所以，故的最小实数根为1，即（如图1）.
当时，，
所以，即存在使得（如图2），即.
（3）由（2）可知，当时，，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望不大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1，即该微生物会灭绝.
当时，，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率小于1，即该种微生物可通过多代繁殖而不至于灭绝.
11.答案：(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为.
因此丙最终获胜的概率为.
12.答案：（1）X的所有可能取值为0，20，100.
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）假设先答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100.
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以，
由（1）可知.
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
13.答案：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，因此，该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为.
（2）根据抽查数据，可得列联表：
64 16
10 10
（3）根据（2）的列联表得.
由于，故有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
14.答案：（1）由题中的数据，可得，
，
，
.
（2），
，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
15.答案：（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是，乙机床生产的产品中一级品的频率是.
（2）根据题表中的数据可得.
因为，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.