近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编 专题10 计数原理（Word含答案解析）

专题10 计数原理
1.【2021年·全国乙卷（理）】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
2.【2020年·新高考Ⅱ卷】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A.2种 B.3种 C.6种 D.8种
3.【2019年·全国Ⅲ卷（理）】的展开式中的系数为()
A.12 B.16 C.20 D.24
4.【2020年·新高考Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
5.【2020年·北京卷】在的展开式中，的系数为（）
A. B.5 C. D.10
6.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】的展开式中的系数为()
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
7.【2020年·天津卷】在的展开式中，的系数是_________.
8.【2021年·浙江卷】已知多项式，则______；____________.
9.【2021年·上海卷】已知二项式展开式中，项的系数为80，则___________.
10.【2019年·天津卷（理）】是展开式中的常数项为_______.
11.【2020年·全国Ⅲ卷（理）】的展开式中常数项是___________（用数字作答）.
12.【2021年·北京卷】的展开式中的常数项是_______.
13.【2020年·全国Ⅱ卷（理）】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.
14.【2020年·浙江卷】二项展开式，则_______；_______.
15.【2019年·浙江卷】在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
答案以及解析
1.答案：C
解析：本题考查排列与组合问题.根据题目条件知花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目中有1个项目分配2名志愿者，先分组再排列，可知不同的分配方案共有（种）.
2.答案：C
解析：方法共有种.故选C.
3.答案：A
解析：，相加的两个二项展开式的通项分别为与的系数为.故选A.
4.答案：C
解析：第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有种，第二步：安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有种，第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有种.所以共有种不同的安排方法.故选C.
5.答案：C
解析：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.
6.答案：C
解析：因为，的通项为，所以的展开式中的系数为的展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故选C.
7.答案：10
解析：二项式的展开式的通项为.令得.因此，在的展开式中，的系数为.
8.答案：5；10
解析：本题考查二项式定理. .令，得，所以.
9.答案：2
解析：本题主要考查二项式定理.由已知有，解得.故本题正确答案为2.
10.答案：28
解析：，
由，得，
故所求的常数项为.
11.答案：240
解析：展开式的通项，令，解得，所以常数项为.
12.答案：-4
解析：由二项式展开公式可得.
13.答案：36
解析：由题意，分两步进行安排第一步将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有种安排方法，所以不同的安排方法有（种）.
14.答案：80；122
解析：由二项式定理得，展开式的通项公式为，所以，，，，所以.
15.答案：；5
解析：的展开式的通项为，
令，得常数项，
要使系数为有理数，则只需，则r必为奇数，满足条件的r有1，3，5，7，9，
故系数为有理数的项的个数是5.