近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编专题07不等式（Word含答案解析）

专题07 不等式
1.【2021年·全国乙卷（文）】若x，y满足约束条件则的最小值为( )
A.18 B.10 C.6 D.4
2.【2021年·浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最小值是( )
A.-2 B. C. D.
3.【2021年·全国乙卷（理）】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()
A. B. C. D.
4.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】若，则()
A． B． C． D．
5.【2020年·浙江卷】已知，对于任意均有，则( )
A. B. C. D.
6.【2019年·全国Ⅲ卷（文）】记不等式组表示的平面区域为.命题；命题.下面给出了四个命题
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
7.【2020年·浙江卷】若实数满足约束条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.【2020年·新高考Ⅰ卷】（多选）已知，且，则( )
A. B.
C. D.
9.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】若满足约束条件则的最大值为____________.
10.【2020年·全国Ⅲ卷（文）】若满足约束条件，则的最大值为_____.
11.【2019年·全国Ⅱ卷（文）】若变量满足约束条件则的最大值是______.
12.【2021年·上海卷】已知实数x，y满足，则的最大值为_____________.
13.【2020年·全国Ⅱ卷（文）】若x，y满足约束条件则的最大值是____.
14.【2020年·天津卷】已知，且，则的最小值为_________.
15.【2020年·江苏卷】已知，则的最小值是.
答案以及解析
1.答案：C
解析：本题考查线性规划的应用.作出不等式组所表示的可行域（图略），可以看出该可行域是由三点，，围成的三角形（包含边界），显然，当经过点时，z取最小值，故.
2.答案：B
解析：本题考查线性规划.如图，作出约束条件所表示的可行域.易得目标函数经过点时，z取得最小值.
3.答案：B
解析：本题考查简单的线性规划及其应用、几何概型的概率问题.由题目条件设，，且，则作出对应的平面区域如图所示，可知所求的概率为.
4.答案：C
解析：取，满足，，知A错，排除A；
因为，知B错，排除B；
取，满足，，知D错，排除D，
因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
5.答案：C
解析：解法一若互不相等，则当时，原不等式在时恒成立，又因为，所以；
若，则当时，原不等式在时恒成立，又因为，所以；
若，则当时，原不等式在时恒成立，又因为，所以；
若，则，与已知矛盾；
若，则，与已知矛盾.
综上，，故选C.
解法二特殊值法：当，时，在时恒成立；当，时，在时恒成立；当，时，在时不一定成立.故选C.
6.答案：A
解析：如图，平面区域D为阴影部分，由得即，直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
7.答案：B
解析：画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，易知当直线经过点时，取得最小值，，再数形结合可得的取值范围是.
8.答案：ABD
解析：对于选项A，，，，正确；对于选项B，易知，，，，正确；对于选项C，令，，则，错误；对于选项D，，，，正确.故选ABD.
9.答案：1
解析：通解作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故.作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最大值，为1.
优解作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，，，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.所以的最大值为1.
10.答案：7
解析：解法一作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点时，取得最大值，.
解法二易知的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入，即可求得最大值.联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得；联立得解得代入中可得.通过比较可知，的最大值为7.
11.答案：9
解析：画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．
12.答案：4
解析：本题主要考查线性规划.根据题中所给约束条件可作出可行域如图所示，目标函数可化为，当z最大时，直线在y轴上的截距最小，由图可知当直线过直线和直线的交点时，截距最小，联立，解得，此时，所以z最大值为4.故本题正确答案为4.
13.答案：8
解析：解法一作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线并平移，由图知，当平移后的直线经过点时，取得最大值，.
解法二易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由得此时；由得此时；由得此时.综上所述，的最大值为8.
14.答案：4
解析：依题意得，当且仅当即时取等号.因此，的最小值为4.
15.答案：
解析：解法一由得，则，当且仅当，即时取等号，则的最小值是.
解法二，则，当且仅当，即，时取等号，则的最小值是.