近三年（2019-2021）高考真题数学分类汇编专题08立体几何（Word含答案解析）

专题08 立体几何
1.【2021年·全国乙卷（理）】在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( )
A. B. C. D.
2.【2021年·全国甲卷（理）】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
A. B. C. D.
3.【2021年·全国甲卷（理）】已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C.4 D.
5.【2020年·全国Ⅲ卷（文）】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
6.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】设为两个平面，则的充要条件是（）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．平行于同一条直线 D．垂直于同一平面
7.【2020年·全国Ⅱ卷（理）】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为( )
A. B. C.1 D.
8.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.【2021年·新高考Ⅰ卷】（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( )
A.当时，的周长为定值
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点P，使得
D.当时，有且仅有一个点P，使得平面
10.【2021年·全国乙卷（理）】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________________（写出符合要求的一组答案即可）.
11.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为___________．
12.【2020年·新高考Ⅰ卷】已知直四棱柱的棱长均为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______.
13.【2021年·全国甲卷（文）】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
14.【2020年·新高考Ⅰ卷】如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
15.【2021年·全国乙卷（理）】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点，且.
（1）求BC；
（2）求二面角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a，则，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成的角，所以直线PB与所成的角为.
2.答案：A
解析：本题考查三视图.由正视图虚线可知所截为正方体的里面左下角，故侧视图为实线左下角.
3.答案：A
解析：本题考查三棱锥和球.设AB的中点是，可知，又，则三棱锥的高是，故体积是.
4.答案：B
解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题意可得，所以.
5.答案：C
解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥，将其放入正方体中，如图，易知，，故其表面积为，故选C.
6.答案：B
解析：由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是的必要条件，故选B．
7.答案：C
解析：由等边三角形的面积为，得，得，则的外接圆半径.设球的半径为，则由球的表面积为，得，得，则球心到平面的距离，故选C.
8.答案：A
解析：如图所示，设球的半径为，的半径为，因为的面积为，所以，解得，又，所以，解得，故，所以，所以球的表面积.故选A.
9.答案：BD
解析：本题考查平面向量与投影、正三棱柱的性质、三棱锥的体积及平面的性质.当时，，所以，此时点P在线段上运动，所以的周长不为定值，A项错误；当时，，所以，此时点P在线段上运动，所以为定值，B项正确；当时，，分别取BC，的中点M，N，如图1，此时点P在线段MN上运动，要使，应使得BP与在平面上的投影PN垂直，此时点P与点M重合，且由正三棱柱的性质可知平面，则点P与点N重合时，也有，C项错误；当时，，分别取，的中点G，H，如图2，此时点P在线段GH上运动，由正三棱柱的性质和可知为正方形，所以，要使平面，只要满足与在平面的投影垂直即可，此时只有点P与点H重合符合，D项正确.
10.答案：②⑤或③④
解析：本题考查几何题的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.
当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面平面ABC，，，，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，平面ABC，，，，此时俯视图为④.
11.答案：
解析：作分别垂直于，平面，连，
知，，
平面，平面，
，
，，，
，
，为平分线，
，又，
．
12.答案：
解析：如图，连接，易知为正三角形，所以.分别取，，的中点，连接，则易得，，且.由题意知分别是，与球面的交点.在侧面内任取一点，使，连接，则，连接，易得，故可知以为圆心，为半径的圆弧为球面与侧面的交线.由知，所以的长为.
13.答案：（1）如图，取BC的中点为M，连接EM.由已知易得，，，，，
由得，
又易得，，
所以平面BCF，
故.
（2）连接，，由（1）知，
所以ED在平面内.
在正方形中，由于F，M分别是，BC的中点，所以，，
且这两个角都是锐角，所以，
所以，
所以，
又，，所以平面，
又平面，所以.
14.答案：（1）因为底面，所以.又底面为正方形，所以，因此平面，因为平面，所以平面，由已知得.因此平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由（1）可设，则
设是平面的法向量，则，即.
可取
所以.
设与平面所成角为，则.
因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大值为.
15.答案：（1）连接BD.
因为底面ABCD，且平面ABCD，
所以.
又因为，，平面PBD，平面PBD，
所以平面PBD.
又平面PBD，所以，所以.
又，
所以，所以，
则，所以，解得.
（2）易知DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面AMP的法向量为，
则有即
令，则，，故.
设平面BMP的法向量为，
则有即
令，则，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.