2013苏教版八年级下数学第十章《图形的相似》全章导学案

10.1图上距离与实际距离 班级 姓名 学号
【学习目标】
1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；
2、理解并掌握比例的性质；
3、通过实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，增
强用数学的意识.
【学习重点】了解线段的比和成比例的线段.
【学习难点】比例的性质的运用.
【学习过程】
一、情境创设：
在我们生活中常常可见形状相同的图形，探索这类图形的特性，会帮助我们更好的认识图形世界，从今天开始，我们将进入相似图形的世界.
观察P82地图，
这两幅地图，比例尺分别为1∶8000000，1∶16000000
（1）分别在两幅地图中量出南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的图上距离.
（2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比是多少？南京市与连云港市的图上距离的比是多少？这两个比值之间有怎样的数量关系？
这两幅地图的形状相同，但比例尺不同．因此，研究形状相同的图形，首先要从研究比例线段入手.
二、探索活动：
1、线段成比例：
在不同的比例尺的两幅江苏省地图中，设南京市与徐州市的图上距离的分别为a、b，它们的比为a：b或表示图上距离的比；南京市与连云港市图上距离的比分别为c、d，则c：d或表示图上距离的比，这两个比值之间有什么关系？
结论：a：b＝c：d或(b≠0，d≠0)
在四条线段中，如果两条线段的比（两条线段长度的比）等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例（即称a、b、c、d这四条线段成比例或称a、b、c、d为成比例线段）. 那么a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.
问题：你还能回忆小学时学习的关于比例的其它性质吗？
2、比例中项：
在中，我们把b叫做a和c的比例中项.由可得b2＝ac.
三、例题讲解：
例1、在比例尺为1：50000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为16cm.求A、B两地间的实际距离.
例2、已知a、b、c、d是成比例线段，a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，求线段d的长.
例3、如图，已知，试求：（1）；（2）的值.
例4、若，试说明.
四、拓展与尝试：
要测量不能到达的两个目标A、B间的距离，一种测量方法如下：
（1）选择两个观测点C、D，测出它的之间的距离，并按一定的比例尺将它们画在纸上；
（2）在点C测出∠ADC和∠BDC的度数，在纸上画出点A、B（如图），这样，量出A、B两点间的图上距离，就可以根据比例尺求出A、B两点间的实际距离.
如果测得CD＝300m，∠ACD＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝80°，∠BDC＝54°，请用1:5000的比例尺在纸上分别画出点C、D和点A、B，并通过度量A、B两点间的图上距离求出A、B两点间的实际距离.
【课后作业】 班级 姓名 学号
(A)1、在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，甲、乙两地的实际距离是（ ） A、1250cm B、125km C、12.5km D、1.25km
(A)2、已知四条线段满足，将它改写成为比例式，下面正确的是 ( )
A、 B、 C、 D、
(A)3、下列各组线段中，长度成比例的是 ( )
A、2cm、3cm、4cm、1cm B、1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cm
C、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D、1cm、2cm、2cm、4cm
(A)4、下列比例式中，不能由比例式得出的是 （ ）A、 B、 C、 D、
(A)5、已知三角形的三边长分别是4cm、5cm、6cm，则这三边上的高的比为 （ ）
A、4:5:6 B、5:4:6 C、6:5:4 D、::
(A)6、若2x=5y，则下列式子中错误的是 ( )
A、 B、 C、 D、
(B)7、已知，则k的值是 ( )
A、-1 B、2 C、-1或2 D、无法确定
(A)8、（1）如果2a=3b，那么a:b= ；（2）若a=1，b=4，则a和b的比例中项c= ；
（3）延长线段AB到C，使BC=2AB，则= ,= ；
（4）如果两地的实际距离是2500m，画在地图上的距离是5cm，那么画图时所用的比例尺为 .
(A)9、小明的身高为1.6m，在某一时刻，他的影长为2m，小明的身高与影长的比为 .
(A)10、在等腰直角三角形中，斜边上的高与斜边的比为 .
(A)11、如图，OA=9，DA=12，BC=6，且，求OB、OC的长.
(A)12、已知有三条长分别为1cm，4cm，8cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，则所添线段的长是多少？
(A)13、已知，求的值.
(A)14、已知x:y=3:5,y:z=2:3，求的值.
(A)15、（1）如果，那么成立吗？为什么？
（2）在△ABC和△A/B/C/中，，且△ABC的周长为15cm，求△A/B/C/的周长.
(B)16、如果△ABC的三边a、b、c满足（b-a）:(c-a):(a+b)=7:8:17，试判断△ABC的形状.
(B)17、儿童节时，小明和小丽做游戏奖到了一些糖果.小明点了一下各自的糖果后说：我奖到的糖果数量与你奖到的糖果数量之比为5:3；在下一关游戏中，小明没有奖到糖果，而小丽又奖到了9颗糖果，小丽说：现在你的糖果数量与我的糖果数量之比为2:3.问现在小明和小丽各有多少颗糖果？

完成时间:
家长签字:
家长意见：您认为该练习量：A.很大囗 B.偏大囗 C.适中囗 D.偏小囗
您认为该练习质量：A.优秀囗 B.良好囗 C.中等囗 D.较差囗
10.2 黄金分割 班级 姓名 学号
【学习目标】
1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段.
【学习重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.
【学习难点】怎样找一条线段的黄金分割点.
【学习过程】
一、情境创设：
1、欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；
2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；
3、观察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？
二、探索活动：
活动一、计算（或）的值，引入黄金分割的概念.
把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）
BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）
1、作顶角为36°的等腰△ABC；2、分别量出底边BC与腰AB的长度；
3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；
最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）
问：比值是多少？　
所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：（1）；
（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；
（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；
活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形；
（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、
△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；
（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……
三、例题讲解：
例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？
例2、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于多少？（结果保留根号）
例3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割
点，AB=1，求CD的长.
四、黄金分割在生活中的应用：
（1）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；
（2）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～ 37.2℃）“人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃；
（3）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；……
【课后作业】 班级 姓名 学号
(A)1、已知C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），AC是线段______与线段______的比例中项，如果AB=10cm，那么AC≈_______cm，BC≈_________cm．
(A)2、已知M、N是线段AB上的两个黄金分割点．若AB=1cm，则MN≈_______cm．
(A)3、如果是a与c的比例中项，且a=1，那么c= .
(A)4、如果点C在线段AB上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB= ；如果点C在线段AB的延长线上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB= .
(B)5、在菱形ABCD中，∠BAD=600，则BD:AC= .
(A)6、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，
CE是∠ACB的平分线，BD、CE相交于点O．图中的黄金三角形有 （ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
(A)7、东方明珠塔高468m,上球体点A是塔身的黄金分割点.点A到塔底部的距离约是多少米（精确到0.1m）？
(A)8、根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所选的高跟鞋的最佳高度约为 多少（精确到0.1cm）?
(A)9、如图，在黄金矩形ABCD中，（1）作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上；
（2）分别量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的比值是否约等于0.618？
(B)10、如图，“黄金矩形”ABCD（即≈0.618）中，依次画正方形①、②、③、④．
（1）观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？
（2）设BC=1（单位长度），通过计算，能否验证你的判断？
(A)11、如图，AB:AC=BD:BC,且 AB=6cm，AC=4cm,BC=5cm,求BD、DC的长.
(A)12、如图，∠DCE=900,甲、乙两个机器人同时从点C出发，分别沿CD、CE的方向前进，若甲每秒钟前进12cm ,乙每秒钟前进9cm，经过ts后,甲、乙分别到达A、B处.
（1）求的值；（2）t为何值时,AB=60cm？
(B)13、如图，正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点，点H在BA延长线上，且EH=ED，四边形AFGH是正方形.（1）求AF、DF的长；（2）点F是AD的黄金分割点吗？为什么？
(B)14、给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢？
（1）作BD⊥AB，且使BD=AB；（2）连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；（3）以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．点C就是线段AB的黄金分割点．
如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割点？
完成时间:
家长签字:
家长意见：您认为该练习量：A.很大囗 B.偏大囗 C.适中囗 D.偏小囗
您认为该练习质量：A.优秀囗 B.良好囗 C.中等囗 D.较差囗
第二课时 黄金分割
【教学目标】1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活的各个领域有价值的运用；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系；
4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。
【教学重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义；
【教学难点】怎样做一条线段的黄金分割点
【教学过程】
一、复习：
前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？
二、情境创设：
1、P85欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；
2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；
3、观察P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？
二、探索活动：
活动一、计算（或）的值，引入黄金分割的概念.
把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AB分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）
解：设AC＝x，AB＝1，则由AC2＝BC·AB得：x2＝（1—x）·1，∴x2 + x—1＝0，∴x2 + x+＝，
∴（x＋）2＝，∴……，∴，又∵＜1，∴x＝≈0.618　
BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
解：，由，得，所以，即矩形EFBC是黄金矩形；
活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）
1、作顶角为36°的等腰△ABC；
2、分别量出底边BC与腰AB的长度；
3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；
最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）
问：比值是多少？　学生：大约是0.618
所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：
（1）；
（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；
（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；
活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形；
（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、
△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；
（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……………
三、例题讲解：
例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？
变题：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米）
解：如图1，若AC是BC与AB的比例中项：则AC≈0.618×4cm=2.472 cm；
如图2，若BC是AC与AB的比例中项：则BC≈0.618×4cm=2.472 cm；∴AC≈1.528 cm
例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。
例3、如图，点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则AC2＝________；（结果保留根号）
例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________；（结果保留根号）
例5、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长；
解：∵点C、D是AB的黄金分割点，
∴AC=BD≈0.618·AB=0.618，
∴BC≈1—0.618=0.382
∴CD≈0.618—0.382=0.236
答: CD的长约为0.236
例6、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）；
解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为xcm，
根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x），解得：x≈6.7
四、黄金分割的应用：
（1）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～ 37.2℃）
“人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃；
（2）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；
（3）维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之下的长度与身高之比接近0.618，芭蕾舞演员的比值只有0.618，所以要踮起脚尖！
（4）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；
（5）自然界的花瓣数目从里到外排列为：2、3、5、8、13、21、34、55、……，相邻两个数的比值越来越接近于0.618……；
（6）你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗? 芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象；
图形的相似
各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
在△ABC与△A/B/C/中，∠A＝∠A/，∠B＝∠B/，∠C＝∠C/,，
ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/,“∽”
是表示相似的符号，读作:
“△ABC相似于△A/B/C/”，其中,k叫做它们的相似比.
注意：
1、如果△ABC∽△DEF，表示的对应关系是唯一确定的，即AD，BE，CF；
2、相似三角形的对应角相等、对应边成比例；
3、相似比就是它们对应边的比，它有顺序性，当相似比为1时，说明两个三角形全等，由此也说明三角形全等是相似三角形的特殊情况.
2、类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形相似.相似多边形的对应边的比叫做它们的相似比.
四、例题讲解:
例1、如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△DEF与△ABC相似吗？为什么？
例2、如图，△ABC∽△A/B/C/，求∠α的大小和A/C/的长.
[学生练习]如图,四边形ABCD∽四边形A/B/C/D/，求x、y的长度和∠α的大小.
例3、如图，△ADE∽△ABC，相似比k＝，且AD＝9，DE＝8，AC＝7，∠C＝75°，
∠A＝65°，求△ABC的周长和∠ADE的度数.
、
例4、在 AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路.
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，
宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y
的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形
A1B1C1D1和矩形ABCD相似？请说明理由.
【课后作业】
(A)1、分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式：
（1）已知：如图，△ADE∽△ABC，则 = = ；
（2）已知：如图，△OAB∽△OCD，则 = = ；
（3）已知：如图，△ABC∽△ACD，则 = = ；
(A)2、已知：如图，△ABC∽△DEF，则这两个三角形的相似比是 .
(A)3、如图△ABC∽△AFE，写出三对对应角
= ， = ， = ，
并且= = ；若△ABC与△AFE的相似比是3:2，EF＝4，则BC＝ .
(A)4、△ABC各边比为2:5:6，与其相似△A/B/C/最大边长为18cm，△A/B/C/最小边长为 .
(A)5、若△ABC∽△A/B/C/，且△ABC的三边长分别为、2、，△A/B/C/的两边长分别为、，则其第三边的长为 .
(A)6、如图，△ABC∽△ADE，AD=4,AB=10,BE=2,其相似比为 ，AC= .
(A)7、给出下列4个判断：①等腰三角形都是相似三角形,②等边三角形都是相似三角形,③直角三角形都是相似三角形,④等腰直角三角形都是相似三角形.其中,判断正确的个数有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
(B)8、如图，△ABC和△AGH都是等边三角形，点G在△ABC的高AD上, AG:GD=2:1，△AGH与△ABC的相似比是（ ） A、 B、 C、 D、
(B)9、若△ABC与△A/B/C/相似，且∠A＝450，∠B＝300，则∠C/的度数是 .
(B)10、已知，A(1,0)，B(0,2)，P(2,0)，坐标平面内有一点Q，且△POQ和△AOB相似，请写出点Q的坐标 .
(A)11、如图，在长为8厘米，宽为4厘米的矩形中，截去一个矩形，使得留下
的矩形ABCD与原矩形相似，则留下的矩形ABCD的面积是 ( )
A、2m2 B、4m2 C、8m2 D、16m2
(A)12、在如图所示的两个相似四边形中，
求x、y、∠α的值.
(A)13、如图，矩形草坪长为20m，宽为10m，沿草坪四周外围有1m宽的环形小路.
小路内外边缘所成的两个矩形相似吗？为什么？
(B)14、在图中的△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC,分别取PA、PB、PC
的中点A/、B/、C/，连接A/B/、B/C/、C/A/.△A/B/C/与△ABC相似吗？为什么？
(A)15、已知,△ABC与△A1B1C1相似，相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似，相似比为，求△ABC与△A2B2C2的相似比.
(B)16、阅读下面的短文，并回答下列问题.
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）.设S甲、S乙 分别表示这两个立方体的表面积，则 ；又设V甲、V乙 分别表示这两个立方体的体积，则.（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A、两个球体 B、两个圆锥体 C、两个圆柱体 D、两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于__________；②相似体表面积的比等于________；③相似体体积的比等于________.
（3）寒假里，李老师到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元。李老师不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意？
10.4 探索三角形相似的条件（1）
判定方法一：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。　
几何语言：∵在△ABC与△A″B″C″中，∠A＝∠A″，∠B＝∠B″，∴△A″B″C″∽△ABC
练习、关于三角形相似下列叙述不正确的是( 　　 )
A、有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似 B、有一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C、所有等边三角形都相似 D、顶角对应相等的两个等腰三角形相似
三、例题分析：
例1、在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝50°,∠B＝∠B′＝60°,∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？
学生练习：1、已知△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝75°，∠C＝50°，∠A′＝55°，这两个三角形相似吗？为什么？
2、在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝70°，∠B＝80°，∠B′＝30°，则△ABC和△A′B′C′是否相似？为什么？
例2、如图，在方格图中，画△A′B′C′，使A′C′∥AC，B′C′∥BC,
(1)如果∠A＝250,∠B＝1350 那么∠A′＝ ，∠B′＝ ，∠C′＝ ；
(2)测量两个三角形的三边长后判定△ABC与A′B′C′是否相似？
(3)发现：两角 的两三角形相似.
例3、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，试说明△ABD∽△DCB；
例4、 如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
变题、如图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC，
△ADE与△ABC相似吗？为什么？
由此得：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； 几何语言：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
例5、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高,
（1）试说明△ABC∽△CBD∽△ACD.
（2）根据△ABC∽△ACD有，∴AC2＝AD·AB, 类似地,你还可以得到哪些结论？
学生练习、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F；
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出；
例7、如图所示，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，
若∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°，则AD·AB＝AE·AC，请你说明理由；
例8、如图,在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且DE∥AC交AB于E，点F在AC上，且DC＝DF，试找出图中所有的相似三角形，并说明你的理由；
9、如图，在平行四边形ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交于BD、BC于E、F，试找出图中所有的相似三角形，并说明你的理由；
10、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，
且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．
11、如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB＝4， BE=3，求AE的长；
(3)在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．

12、）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，
连结BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
第五课时 探索三角形相似的条件（2）
【教学目标】1、通过探索与交流，得出两个三角形只要具备两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断两个三角形相似的方法；
2、尝试选择判断两个三角形相似的方法，并能灵活解决生活中一些简单的实际问题；
【教学重点】两个三角形相似的条件（二）的选择和应用；
【教学难点】了解两个三角形相似的条件（二）的探究思路和应用；
【教学过程】
一、复习：
前面一节课我们探索了三角形相似的条件，回忆一下，我们探索两个三角形相似，可以从哪几个方面考虑找条件？
二、新知探索：
1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，
,比较∠B和∠B′的大小.
由此，你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
2、在上题的条件下，设，
改变k的值的大小，再试一试，你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，，那么△ABC∽△A′B′C′，
解：假设AB＞A′B′，在AB上截取AB″＝A′B′，过点B″作B″C″∥BC，
交AC于点C″，在△ABC和△AB″C″，∵B″C″∥BC ∴△ABC∽△AB″C″，
∴ 又∵ ，AB″＝A′B′，∴AC″＝A′C′，
∵∠A＝∠A′，∴△AB″C″≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′
由此得判定方法二：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，，∴△ABC∽△A′B′C′，
3、如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，还需要添加什么条件？
三、例题分析：
例1、下列条件能判定△ABC∽△A′B′C′的有 （ ）
（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A′＝450，A′B′＝16，A′C′＝20
（2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B′＝47°，A′B′＝2.8，B′C′＝2.1
（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3，∠B′＝47°，A′B′＝4，B′C′＝6
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
例2、如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC∽△ACB的条件是（ ）
A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③
例3、如图,在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件 ,
还需添加的条件是 ，或 或 .
学生练习、如图的两个三角形是否相似？为什么？
例4、如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?为什么？
例5、如图，已知，试求：（1）；（2）的值；
例6、如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB＝4，AM＝1，BN＝0.75，（1）△ADM与△BMN相似吗？为什么？（2）求∠DMN的度数；
变题、如图，矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE，
试说明：△ABC∽△EAB；
例7、如图，△ABC中，AB＝12，BC＝18，AC＝15，D为AC上一点，CD＝AC，在AB上找一点E，得到△ADE，若图中两个三角形相似，求AE的长；
学生练习P98 2、如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm，
（1）在AB上取一点D，当AD＝________时，△ACD∽△ABC；
（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝________时，△AEB∽△ABC，
此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？
例8、如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF不相似，其中∠C与∠F为直角，能否分别将这两个三角形都分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△DEF所分成的两个三角形对应相似？如果能，请你设计一种分割方案；
第六课时 探索三角形相似的条件（3）
【教学目标】1、通过探索与交流，得出两个三角形只要具备三边对应成比例，即可判断两个三角形相似的方法；
2、尝试选择判断两个三角形相似的方法，进一步解决生活中一些简单的实际问题；
【教学重点】两个三角形相似的条件（三）的选择和应用；
【教学难点】了解两个三角形相似的条件（三）的探究思路和应用；
【教学过程】
一、复习：
前面一节课我们探索了三角形相似的条件，回忆一下，我们探索两个三角形相似，可以从哪几个方面考虑找条件？两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？对照判定两个三角形全等的方法，猜想判定两个三角形相似还可能有什么方法？
二、新知探索：
已知△ABC， 1、画△A′B′C′，使得； 2、比较∠A与∠A′的大小；
由此，你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
设，改变k的值的大小，再试一试，
你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？
解：假设AB＞A′B′，在AB上截取AB″＝A′B′,过点B″作B″C″∥BC，
交AC于点C″，在△ABC与△AB″C″中，∵B″C″∥BC，
△ABC∽△AB″C″，∴,
又∵，AB″＝A′B′，
∴B″C″＝B′C′，C″A＝C′A′，△AB″C″≌△A′B′C′，
△ABC∽△A′B′C′；
由此得判定方法三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；
几何语言：∵ ∴△ABC∽△A′B′C′
三、例题分析：
例1、根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
(1)∠A＝100°，AB＝5cm，AC＝10cm，∠A′＝100°，A′B′＝8cm，A′C′＝12cm；
(2) AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.
例2、下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是 （ ）
A、△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105 o，△A′B′C′中，A′B′＝16，B′C′＝8，∠A′＝100°
B、△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝70
C、△ABC和△A′B′C′中，有，∠C＝∠C′
D、△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o，△A′B′C′中，∠A′＝118 °，∠B′＝15°
例3、下列说法不正确的是( )
A、两角对应相等的两个三角形相似 B、两边对应成比例的两个三角形相似
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D、三边对应成比例的两个三角形相似
例4、下列说法：①所有等腰三角形都相似，②有一个底角相等的两个等腰三角形相似，③有一个角相等的两个等腰三角形相似，④有一个角为60 o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A、②④ B、①③ C、①②④ D、②③④
例5、已知：如图，，试说明：∠BAD=∠BCE
例6、画出符合下列条件的△ABC和△A′B′C′：，∠C＝∠C′＝45°
（1）这两个三角形一定相似吗？
（2）若不相似，请你添加一个条件使它们一定相似．
学生练习：P100 1、2
例7、试说明：两个等腰三角形中，如果一腰和底对应成比例，那么这两个三角形相似；（自己画出图形并标上字母）
变题、如图，已知△ABC、△DEF均为等边三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出与△DBE相似的三角形并加以说明；
例8、如图为三个并列的边长相同（都为1）的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3＝90°；
例9、要做两个形状完全相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别为3、4、5，另一个框架的一边长为6，怎样选料可以使两个三角形相似？
9、（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
10、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE?AC．
如图，△ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。（8分）
第七课时 探索三角形相似的条件
――――――构造平行线
一、基本图形及基本结论：
二、例题分析：
例1、平行四边形ABCD，E、F是BC的三等分点，则EP:PQ:DQ=
例2、如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，求、的值。
变题1、D是BC的中点，AE:EC=3:1,则＝ 。
变题2、若BD:DC=2:1,AE:EC=3:1,则＝ 。
变题3、若BD:DC=m:1,AE:EC=n:1,则＝ 。
例3、△ABC中，AB:AC=3:5，BD=CE，DE的延长线交BC
的延长线于点F。若DF=15，求EF的长。
例4、△ABC中，AD平分∠BAC，说明：
例5、△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，EF的延长线交BC的延长线于点D，
说明：
例6、如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC
（1），BC=3，AD=1，求EF；
（2）若，说明：
例7、△ABC中，E点在BC上，D点在AB的延长线上，DE的延长线交AC于点F，且
说明：AF=CF
三、课后作业：
1、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF:FD=1:5，连结CF并延长交AB于点E，则AE:EB等于（ ）
A、1：6 B、1：8 C、1：9 D、1：10
2、如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 .
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E、F分别是BC、AB、CA上的点，且四边形CDEF为正方形，若AC＝1，BC＝2，则AF：FC等于…………… ( )
A、1：3 B、1：4 C、1：2 D、2：3
4、△ABC中，AD平分△ABC的外角∠CAE，说明：
5、如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝CE，
DE的延长线交BC的延长线于点F，若AB：AC＝3：5，求EF：DF的比值。
6、在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当时，有（如图甲）；
（2）当时，有（如图乙）；
（3）当时，有（如图丙）；
在图丁中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）．
7、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC中点，CE⊥BD于E.
(1)求证：AD2＝DE·DB
(2)若，AE＝5，求AB的长.
探索三角形相似的条件
――――――探索性问题
班级 姓名 学号
一、例题分析：
1、如图，已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a，BC=b，当BD= 时，△ABC与△CDB相似；
2、如图，在△ABC中，AB=24,AC=18,D是AC上一点，AD=12;在AB上取一点E，使得△ADE与△ABC相似，则AE的长为 ；
3、如图，在△ABC中，若点P是AB边上一点，过点P作直线不与直线AB重合，截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的三角形最多有 条；
4、如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm，AC∶AB=3∶5,点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2cm的速度移动；点Q从点C出发，沿CA向点A以每秒1cm的速度移动;
(1)经过多少秒时，△CPQ∽△CBA?
(2)经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？
5、（启东作业本68第14题）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设，是否存在这样的值，使△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．
6、（I）如图点P在□ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA、BC的延长线于点Q、S，交AD、CD于点R、T．说明：PQ·PR=PS·PT；

（II）如图（1），图（2），当点P在□ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ·PR=PS·PT是否仍然成立？若成立，试给出说明；若不成立，试说明理由[要求仅以图（1）为例进行说明]；
（III）如图（3），ABCD为正方形，A、E、F、G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（I）所得结论为依据，求线段FG的长度．
7、等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点．小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图（a），说明：当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图（b）的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE∽△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE∽△PFE是否相似？请说明理由；
三、课后作业：
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在点P，使△PCD与△PAB相似？若存在，求出DP的值；若不存在，请说明理由。
2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB向点B以每秒2cm的速度移动；点Q从点D出发，沿DA向点A以每秒1cm的速度移动，经过多少秒时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3 cm，BC=7 cm，∠B=60°，P为下底BC上一点，（不与B、C重合）连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
（1）说明：△ABP∽△PCE.
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。
4、已知：如图（1），在□ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
（1）试说明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图（2）所示的位置，画出图形，说明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB＝，PN＝，MQ＝，则与之间的函数关系式为____________．
5、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.
在图甲中，说明：PC=PD；
在图乙中，点G是CD与OP的交点，说明△POD∽△PDG.
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.
第九课时 探索三角形相似的条件
――――――证特殊结论
班级 姓名 学号
一、例题分析：
例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点P是BC上任意一点，PE∥AB，PF∥CD，
说明：
例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，过O作EF∥AB，交AD、BC于E、F；说明：（1）OE=OF；（2）（3）
例3、（启东作业本第63页）已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明．
例4、如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，AF=FD，EG⊥CF，说明：CG=4FG
例5、如图，过△ABC的顶点C任作一条直线与边AB及中线AD分别交于点F和点E，过D作DM∥FC交AB于点M，说明：AE·FB=2AF·ED
例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，且AD=AC，连结CD交AB于E，
说明：DE·CE=2BE·AE
二、课后作业：
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，点P在边BC上移动（不与点B、C重合），过点P作PE∥AB，PF∥CD，问：在P移动的过程中，PE+PF的值是否变化？若不变，求出PE+PF的值；若变化，求出其取值范围。
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，D为垂足。求证：
3、如图，△ABC中，∠B=60°，AD⊥BC，CE⊥AB，说明：
（1）△BDE∽△BAC；（2）若取AC边的中点F，则△DEF为等边三角形；
4、如图，CD是△ABC的高，∠ACB=90°，∠DCB=∠ECB，P是AC的中点，PD的延长线交BC的延长线于点F，说明：AC·CE=2PF·CD
5、如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，D为垂足，说明：BC2=2CD·AC
6、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC的中点，说明：FA·AB=2DE·DF
第十课时 相似三角形的性质（1）
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学设计：
一、情境创设
（1）前面学习了相似三角形、相似多边形的概念，知道如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角、对应边成比例。相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢？
（2）所有的正方形都是相似形（它们的对应角相等，对应边成比例）。
若正方形的边长为1，则周长为4，面积是1；若正方形的边长为2，则周长为8，面积是4；
若正方形的边长为3，则周长为12，面积是9；若正方形的边长为a，则周长为4a,面积是a2。
这些正方形间周长的比，面积的比与其边长的比之间有怎样的关系呢？
二、探索活动
1、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长的比等于相似比
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
2、问题1.若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
已知△ABC∽△A′B′C′，相似比是k，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高。
因为∠B=∠B′，∠ADB=∠A′D′B′=90°所以△ABD∽△A′B′D′
所以，即AD=kA′D′，
所以
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题2.你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？
得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、例题讲解
例1、（P106例1）在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和实际面积。
2、若△ABC∽△DEF,△ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE= cm
3、在△ABC中，F、G分别是AB、AC的中点，那么△AFG与四边形FBCG的面积之比是
4、如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD：DF：FB=1：2：3,则S四边形DFGE：S四边形FBCG=_________.
5、如图，在△ABC中，DE//BC，若，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
6、如图，梯形DBCE中，DE∥BC，若S△EOD:S△BOC =1:9，求DE:BC的值.
添加：S1=2，求梯形DBCE的面积。
练习：如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离BE的长。
7、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC交AB于E，EC交AD于F
（1）说明：△ABC∽△FCD
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。
四、作业：
第十一课时 相似三角形的性质（2）
教学目标：
1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；
2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；
3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比
教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题
教学设计：
一、情境创设
全等三角形的对应边上的高相等。相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？
二、探索活动：
1、如图，△ABC∽△A′B′C′，相比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，说明：AD/A′D′=k
由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比
2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？
3、小结相似三角形对应线段的关系。
三、例题教学
1、见课本P107的例题2
练习：见课本P108 1、2、
2、如图：已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？
3、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？
变题1：若四边形EFGH为矩形，且EF：EH=2：1，求矩形EFGH的面积。
变题2：已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3和4，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由。
4、如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），点Q在B、C上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）在AB上是否存在点M，使得△PQM是等腰直角三角形？若存在，求出PQ的长。
第十二课时 图形的位似
教学目标：1、通过实验、操作、思考活动认识位似图；
2、会利用位似图原理将一个图形放大或缩小。
教学过程：
一、情境创设
公安人员在侦破案件中，有时会从一枚指纹来确定罪犯的身份，最终破案。借助放大镜可以将它放大，保持形状不变。再如微型胶卷所拍摄的照片就是把实物缩小，保持形状不变。
你还能举出生活中将一个图形放大或缩小的例子吗？
二、探索活动：已知点O和ΔABC
（1）画射线OA、OB、OC，分别在OA、OB、OC上取点A＇Ｂ＇Ｃ＇，使
（2）画ΔA＇B＇C＇。
ΔABC和ΔA＇B＇C＇是否相似？为什么？
像这样的相似形叫位似形。O是位似中心。利用位似形可以将一个图形放大或缩小。
三、典例分析
例1：请画出如图所示的两个五角星的位似中心并度量大小两个五角星的位似比。
例2：阅读并回答问题：
在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D`E`F`G`。
第二步：连结BF`，并延长交AC于点F；
第三步：过F点作FE⊥BC交AB于点E；
第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：过G点作GD⊥BC于点D。四边形DEFG即为所求作的正方形DEFG。
根据以上作图步骤，回答以下问题：
（1）上述所求作的四边形DEFG是正方形吗？为什么？
（2）在△ABC中，如果BC=10，高AQ=6，求上述正方形DEFG的边长。
练习：
1、任取一个点O，你能把五边形ABCDE放大到原来的2倍吗？
思路点拨：作位似图形的方法是先确定位似中心，把位似中心取在多边形外或多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，都可以把一个多边形放大或缩小。
2、如图在6×6的方格中画出等腰梯形ABCD的位似图形，位似中心为点A，所画图形与原等腰梯形ABCD的相似比为2：1。
画以五角星ABCDE的中心O为位似中心，所画图形与原五角星ABCDE的相似比为1∶2。

下列说法正确的是（ ）
A、位似图形一定是相似图形 B、相似图形不一定是位似图形
C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
已知，在四边形ABCD中，点E为AB上的任一点，过E作EF∥AD交BD于点F，过F作FG∥CD交BC于点G。EG与AC平行吗？为什么？
6、如图，已知矩形ABCD中，以对角线AC、BD的交点O为位似中心，解答以下问题：
（1）按新图与已知图形的相似比为和相似比为2作两个矩形A1B1C1D1和A2B2C2D2；
（2）求S△OA1B1:S四边形A1D1D2A2的值。
7、如图，已知五边形A＇B＇C＇D＇E＇是五边形ABCDE
的位似图形，但被小玮擦去了一部分，你能将它补完整吗？
相似三角形解题思路赏析（3.29）
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内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。
例题讲解：
1、如图，在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与
相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
3、如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
4、已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．
（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；
（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域。

5、已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．
相似三角形解题思路赏析2（4.06）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．
例题讲解：
1、将一张边长分别为a，b的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为(　　 )
（A） （B）
（C） 　 （D）
2、如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为、，则梯形的面积为（　　　）．
A． B． C． D．
3、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝CD，连结CE，求证：（1）CE＝CA；（2）上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD︰AE＝3︰8，求的值；
4、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 ，
当时，的值是 ；
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
5、如图，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）．
（1）两点间的距离是 ；
（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，
求出的值．若不能，说明理由；
（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；
（4）连结，当时，请直接写出的值．
相似三角形解题思路赏析3（4.12）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：1、寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．2、构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．3、学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．
相似三角形的基本性质有：1、相似三角形的对应角相等，2、相似三角形的对应边成比例，3、相似三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线以及周长）的比等于相似比，4、相似三角形的面积比等于相似比的平方．其实在第二、三条性中的对应角与对应线段还可以推广对应量相等或成比例，例如：两个相似三角形的对应边上的高与中线的夹角是相等的，对应边上的高分对边所成的对应线段成比例等等．说开了也就是相似三角形对应线段分原三角所成的对应小三角形相似．
例1、小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形中，作交于，交于，求证：；
（2）如图2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值；
（3）如图3，矩形中，，，点分别在上，且，求的值．
例2、如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．
例3、如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E点，连接CD，设S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1) 当D为AB中点时,求S1:S的值；
(2) 设AD=x, S1：S=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3) 是否存在点D,使得S1＞1/4S成立? 若存在,求出D点的位置；若不存在，说明理由．
例4、如图，四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．P是对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，FE交MN于点K，求证：K是线段MN的中点．
例5、如图，正方形EFGH内接于△ABC中，AD⊥BC，设BC=a，AD=h，
说明：正方形的边长=，请利用上述的有关结论，解决下面问题：
在一块锐角三角形余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形的边上，若三角形的三边长为a，b，c，且a＞b＞c，问：正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件的面积最大？
相似三角形解题思路赏析（4.19）
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1、如图，∥∥，直线AB分别与，，交于点A、B、C，直线DE分别与，，交于点D、E、F，AB=3，BC=4，DE=2，试探索求EF长的方法.
2、善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个
问题，你能帮助解决吗？
问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中， AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，
AD=2，MN是中位线（如图①）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?

（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .
问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
（1）从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明).
（2）从特殊梯形入手探究.同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P,Q在梯形的两腰上，如图②）, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.
(3)一般结论：对于任意梯形（如图③），一定 (填“存在”或“不存在”)
平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似.
若存在，则确定这条平行线位置的条件是=
(不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求证明 ) .
3、解决下面问题：
（1）、阅读理解：
如图1，以原点O为位似中心按比例尺OA’：OA=3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA’B’，若A（1，2），B（3，1），则A’、B’两点的坐标分别为（3，6）和（9，3）；
（2）、活动探索：（在下图中分别作出对应的图形，不要求用尺轨作图）
活动一：如图2，以点T（1，1）为位似中心按比例尺TE’：TE=3：1在位似中心的同侧将△TEF放大为△TE’F’，若E（2，3），F（4，2），则E’、F’的坐标分别为_____________、_____________；
活动二：如图3，以点W（2，3）为位似中心按比例尺WG’：WG=4：1在位似中心的同侧将△WGH放大为△WG’H’，若G（3，5），H（5，4），则G’、H’的坐标分别为_____________、_____________；
（3）、归纳猜想：
以第一象限内的点M（a，b）为位似中心，按比例尺MP’：MP=n：1在位似中心的同侧将图形放大，则点P（x，y）的对应点P’的横坐标为_____________，纵坐标为__________（用a 、b、 n、 x 、y表示）
4、在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P’在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转600，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ ， ）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，900），得到△ADE，则线段BD的长为 cm；
（2）如图3，分别以锐角△ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△A BI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．
相似三角形与图形的证明（4.26）
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1、如图①，为等边三角形，面积为．分别是三边上的点，且，连结，可得．
（1）用S表示的面积= ，的面积= ；
（2）当分别是等边三边上的点，且时，如图②，求的面积和的面积；
（3）按照上述思路探索下去，当分别是等边三边上的点，且时（为正整数）， 的面积= ，
的面积= ．
2、如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的面积与t的函数关系式；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
3、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB，
（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长；
4、请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
相似三角形中的探索性问题

探索性问题一般没有明确结论，没有固定的形式或方法，要求通过观察、分析、比较、概括，得出结论，形式方法和思路的数学问题，这类题是考查分析和解决问题的能力的重要题型，它可以分三类：
条件探索性问题
条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致有两种：⑴问题中的条件未知或不足需要探求；⑵条件多余或有错，要求排除或修正.
例1：(烟台)如图1,请你补充一个你认为正确的条件,使△ABC∽△ACD:__________.
解析:此题考查的是三角形相似的判定,根据图形要充分利用图形的已知条件,∠A为公共角,故再有一个条件即可, ∠ADC=∠C或.
例2：（乐山）已知：如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B）,使得△CDM与△MAN相似？若能，请给标明；若不能，请说明理由.
解析:本题考查三角形相似的判定,图中已经具备两个条件: ∠D=∠A,∵M是边AD的中点，∴DC=DA=2AM, ∴,若使得△CDM与△MAN相似,只需,这样根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似来判断.此时有,所以当时, △CDM∽△BMD.
结论探索性问题
它是指题目结论不确定，不惟一，或题目结论需要通过类比引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论.
例3:(双柏县)如图3,在4×4的正方形方格中, △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
⑴填空: ∠ABC=_______,BC=______;
⑵判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
解析：⑴∠ABC=,BC=.
⑵能判断△ABC与△DEF是相似(或△ABC∽△DFE)
这是因为∠ABC=∠DEF=,
∵,∴,
∴△ABC∽△DFE.
例4:(上海)某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地种植花木（如图4）他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
解析：梯形ABCD中，∵AD∥BC∴△AMD∽△BMD，∵AD=10，BC=20，
∴∵∴.
还需要资金200×10=2000（元）,而剩余资金为2000-500=1500＜2000，所以资金不够用.
探索存在性问题
存在性问题是指在一定的条件下，探索某种数学对象是否存在的问题.
例5:如图5,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm, ∠B=,P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.
⑴求证: △ABP∽△PCE;
⑵求等腰梯形的腰AB的长;
⑶在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3,如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.
解析:考查相似三角形的性质、判定、等腰三角形的性质. ⑴易证∠B=∠C,再利用外角证, ∠EPC=∠BAP,得△ABP∽△PCE.⑵过点A作AF⊥BC于F,易求得BF=,进一步可求AB.⑶假设P存在,由△ABP∽△PCE可计算出BP长,确定P点位置,再验算.
答案: ⑴证明由∠APC为△ABP的外角得, ∠APC=∠B+∠BAP,又∵∠B=∠APE,∴∠EPC=∠BAP.又∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCE.
⑵过A作AF⊥BC于F,由已知易求得BF=.
在Rt△ABF中, ∠B=,BF=2, ∴AB=4cm.
⑶存在这样的点P,理由如下:
由DE:EC=5:3,DE+EC=DC=4,得EC= cm..
设BP=x,则PC=7-x,由△ABP∽△PCE可得:即
解得
八年级下学期数学《比例线段与黄金分割》检测题
时间：45分钟 卷面满分：100分 姓名： 得分：
一、选择题（每题3分，共30分）
1、在比例尺为1：400000的地图上，量得AB两地距离是24cm，则A、B两地实际距离为（ ）
A、960m B、9600m C、96000m D、960000m
2、把写成比例式，下列写法不正确的是 （ ）
A 、 B、 C、 D、
3、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则 （ ）
A、； B、；C、； D、
4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为 （ ）
　　　　A、 B、 C、 D、
5、若 ，则 （ ）
　　　 A、11：10：15 B、8：3：7； C、3：2：5； D、6：7：8
6、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 （ ）
A、12米 B、11米 C、10米 D、9米
7、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是…… （ ）
A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12
8、已知，则在① ② ③ ④这四个式子中正确的个数是…………………………… （ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9、已知，则下列等式中不成立的是…………………………（ ）
A. B. C. D.
10、如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于………（ ）
A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4
二、填空题（每空3分，共 36分）
1、已知，则　　　　　　　。
2、正方形的边长与对角线的比为：　　　　　　　。
3、若，则 工　　　　。
4、若，则 。
5、若P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，若AB＝8cm，则AP＝__________PB＝　　　　　。
6、已知b是a，c的比例中项，且a=3cm，c=6cm，则b= cm。
7、已知3，则 ，
8、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm，则这两城市的实际距离是 公里。
9、如图，点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则AC2＝_______；（结果保留根号）
10、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为
11、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________；（结果保留根号）
12、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）；
三、尺规作图。（3分）
作出线段AB的黄金分割点。（找出一个即可）
四、解答题。（共40分）
13、（1）若, 求的值。　（2）、若，求的值。（5分）
14、已知，且，求的值。（5分）
15、已知，且，求的值。（5分）
16、若求的值。（5分）
综合应用题。
17、已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。（5分）
18、若三边，三边上的高分别为，求的值。（6分）
19、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长；（6分）