北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（1）（word版含答案）

北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
6．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
7．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
8．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
9．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题（共10小题）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　 　cm．
12．如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为　 　．
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　．
15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC的垂直平分线MN交AB、AC于点M、N．则△BCM的周长为　 　．
17．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
　 　．
18．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是　 　．
19．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
20．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　 　．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
22．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
23．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．
25．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
26．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
27．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①② ③； B：①③ ②； C：②③ ①
请选择一个真命题　 　 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
28．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　 　°，∠C＝　 　°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　 　cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
29．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB．求证：∠BAC＝30°．
北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°
∴DE＝DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．
故选：C．
4．下列命题正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，
B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；
C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．
故选：C．
6．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
7．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④
故选：A．
8．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
9．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC） a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　19　cm．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19．
12．如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为　　．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠FBQ＝∠EBP＝30°，
∴在直角△BFQ中，BQ＝BF cos∠FBQ＝2×＝，
又∵QF是BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2．
∵直角△BPE中，∠EBP＝30°，
∴PE＝BP＝．
故答案是：．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为　7　．
【解答】证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF＝2，BF＝3，
∴CA＝AB＝5，AE＝2，
∴CE＝7．
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　42　．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　5　．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC的垂直平分线MN交AB、AC于点M、N．则△BCM的周长为　14　．
【解答】解：∵AC的垂直平分线MN交AB、AC于点M、N，
∴AM＝CM．
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM＝BC+AB＝14．
17．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行　．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
18．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是　50°或80°　．
【解答】解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．
故答案为：50°或80°．
19．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　80°、50°、20°　时，△ABC是等腰三角形．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
20．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　等边三角形　．
【解答】解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
22．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
【解答】解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠CDE＝25°．
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
23．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
【解答】解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．
【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°
（2）解：∵AE＝6，
∴AC＝AB＝2AE＝12
∵△CBD的周长为20，
∴BC＝20﹣（CD+BD）＝20﹣（CD+AD）＝20﹣12＝8，
∴BC＝8．
25．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
26．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．
27．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①② ③； B：①③ ②； C：②③ ①
请选择一个真命题　①③②　 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，
求证：AD＝AE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE．
故答案为：①③②．
28．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　70　°，∠C＝　35　°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　7　cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
【解答】（1）解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝EC．
∵BD＝DE，AD⊥BC，
∴AB＝AE．
∴∠ABE＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°，∠C＝35°．
故答案为：70，35；
（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝13﹣6＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝7cm．
故答案为：7；
（3）AB+BD＝DC．
证明：∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝DC．
29．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【解答】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB．求证：∠BAC＝30°．
【解答】证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°．
又∵AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB＝AD．
∵CD＝BC，
∴BC＝BD．
又∵BC＝AB，
∴AB＝BD．
∴AB＝AD＝BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B＝60°
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°．
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