北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（4）（word版含答案）

北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（4）
一、选择题（共10小题）
1．以下命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a＝b，则a2＝b2
D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
2．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（　　）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
3．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（　　）
A．5 B．7.5 C．9 D．10
5．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．
②因此假设不成立．∴∠B＜90°．
③假设在△ABC中，∠B≥90°．
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
7．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（　　）
A．8 B．4 C．12 D．6
9．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共10小题）
11．如图所示，BE⊥AC于点D，且AB＝CB，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝　 　．
12．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　．
13．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题　 　．
14．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是　 　．
15．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝　 　．
16．已知，如图，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝　 　．
17．如图，有一个正三角形图片高为1米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是　 　．
18．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝　 　cm．
19．用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设　 　．
20．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　 　”．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．
24．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，求BC的长．
26．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
（1）如图1，求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形．
27．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
28．如图，有如下三个论断：①AD∥BC，②∠B＝∠C，③AD平分∠EAC．
（1）请从这三个论断中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果…那么…”的形式写出来．（写出所有的真命题，不要说明理由）（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明．
已知：　 　
求证：　 　
证明：　 　
29．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
30．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
北师大新版八年级（下）《第1章 三角形的证明》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．以下命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a＝b，则a2＝b2
D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
【解答】解：A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故A选项错误；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故B选项正确；
C、若a＝b，则a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题，故C选项错误；
D、若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0的逆命题为若a2+b2＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，故D选项错误．
故选：B．
2．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（　　）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x，
当∠C为直角时，2x+mx＝4x，
解得，m＝2，
当∠B为直角时，2x+4x＝mx，
解得，m＝6，
故选：C．
3．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
4．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（　　）
A．5 B．7.5 C．9 D．10
【解答】解：连接AO，如图，
∵AB＝AC＝6，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB OE+AC OF＝15，
∵AB＝AC，
∴AB（OE+OF）＝15，
∴OE+OF＝5．
故选：A．
5．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．
②因此假设不成立．∴∠B＜90°．
③假设在△ABC中，∠B≥90°．
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；
因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选：A．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
7．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（　　）
A．8 B．4 C．12 D．6
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB⊥AD，
∴BD＝2AD＝2×4＝8，
∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DC＝AD＝4
∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，
故选：C．
9．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
∴到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．
故选：B．
10．下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；正确．
②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确．
③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；正确．
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；错误．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．如图所示，BE⊥AC于点D，且AB＝CB，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝　27°　．
【解答】解：∵AB＝CB，BE⊥AC，
∴AD＝DC，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×54°＝27°，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E＝∠ABD＝27°，
故答案为：27°．
12．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　2　．
【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
13．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题　面积相等的三角形全等　．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
14．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是　30°　．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
15．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝　3　．
【解答】解：∵ED为AC上的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∵AB＝AE+EB＝5，△BCE的周长＝AE+BE+BC＝AB+BC＝8，
∴BC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
16．已知，如图，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝　2.5　．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠ADB+∠B＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝×5＝2.5．
故答案为：2.5．
17．如图，有一个正三角形图片高为1米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是　　．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴sin∠B＝sin60°＝＝，
∵CD＝1，
∴BC＝，
∴△ABC的周长为2．
∴点A′对应的实数是2．
故答案为：2．
18．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝　13　cm．
【解答】解：如图，
∵OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
而DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠3，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DO+AE+EO＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝7+6＝13（cm）．
故答案为13．
19．用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设　a≥0　．
【解答】解：用反证法证明“如果|a|＞a，那么a＜0．”是真命题时，第一步应先假设：a≥0．
故答案为：a≥0．
20．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　HL　”．
【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD＝EC，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；
（2）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠BAC＝120°．
24．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，求BC的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB⊥AD，AD＝4cm，
∴BD＝8cm，
∵∠ADB＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴CD＝AD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12cm．
26．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
（1）如图1，求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBF和Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF，（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∵BE＝CF，
∴AE＝AF；
（2）由（1）证得，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED与△CFD是等腰直角三角形，
∵∠AED＝∠AFC＝∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∴图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形是△AED，△AFD，△EDF，△BED，△CFD．
27．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【解答】证明：证法一：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝60°，
在△ABC中，
∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴△ABC是等边三角形；
证法二：∵CD∥AB，
∴∠B+∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝60°
在△ABC中，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴△ABC是等边三角形．
28．如图，有如下三个论断：①AD∥BC，②∠B＝∠C，③AD平分∠EAC．
（1）请从这三个论断中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果…那么…”的形式写出来．（写出所有的真命题，不要说明理由）（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明．
已知：　AD∥BC，∠B＝∠C；　
求证：　AD平分∠EAC；　
证明：　∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC　
【解答】（1）解：如果①②，那么③；
如果①③，那么②；
如果②③，那么①；
（2）①已知：AD∥BC，∠B＝∠C，求证：AD平分∠EAC；
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC；
②已知：AD∥BC，AD平分∠EAC，
求证：∠B＝∠C；
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴∠B＝∠C；
③已知：∠B＝∠C，AD平分∠EAC，
求证：AD∥BC；
证明：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC．
故答案为：AD∥BC，∠B＝∠C；
AD平分∠EAC；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC．
29．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
30．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
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