第一章 解三角形
§ 1.1 正弦定理和余弦定理
§ 1.1.1 正弦定理 (第一课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是 ( )
A．a sin A＝b sin B B．b sin C＝c sin A
C．a b sin C＝b c sin B D．a sin C＝c sin A
2．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是 ( )
A．2 B．
C．2或4 D．或2
3．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为 ( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不能确定
4．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为 ( )
A．＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，
sin B＋cos B＝，则角A的大小为 ( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是 ( )
A． B．(10，＋∞)
C．(0,10) D．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°
那么角C等于 ( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
8．若的三个内角满足，则是 ( ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是 ．
10．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，则＝________.
11．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝________.
12．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝b，解此三角形．
14．（本小题满分12分）在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．
15．（本小题满分12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角?．
§ 1.1.1 正弦定理 (第一课时) 答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B
9．60°或120° 10． 11． 12．
13．解：由正弦定理知＝＝sin B＝，b＝4．
∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．
14．30°
15．证明 因为左边＝4R2sin2 A·sin 2B＋4R2sin2 B·sin 2A
＝8R2sin2 Asin Bcos B＋8R2sin2 B·sin Acos A
＝8R2sin Asin B(sin Acos B＋cos Asin B)
＝8R2sin Asin Bsin(A＋B)
＝8R2sin Asin Bsin C
＝2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C
＝2absin C＝右边，
∴等式成立．
16．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝?，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于??的三角函数等式，进而解出??角．
解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，
∠ACB＝45°－15°＝30°．
根据正弦定理有＝，
∴ BC＝．
又在△BCD中，∵ CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋??，
根据正弦定理有＝．
解得cos???＝－1，∴ ??≈42.94°．
∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．
§ 1.1.1 正弦定理 (第二课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，已知，则等于 ( )
A. B. C. D.
2．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为 ( )
A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°
3．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2 C. D．4
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于 ( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
6．下列判断中正确的是 ( )
A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解
B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解
C．当a＝，b＝，B＝120°时，三角形有一解
D．当a＝，b＝，A＝60°时，三角形有一解
7．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于 ( )
A． B．
C．或 D．或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．在中，已知，，则的形状是
10．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为________．
11．△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是________．
12．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝______，c＝______.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）7、在中，已知,解此三角形。
14．（本小题满分12分）在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，并且B为锐角，试判断此三角形的形状．
15．（本小题满分12分）已知△ABC的面积为1，tan B＝，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．
四、探究与拓展（本题满分14分）
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．
§ 1.1.1 正弦定理 (第二课时) 答案
1．B2．C3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．D
9．等腰三角形 10．2 11．等边三角形 12．12 6
13．解：由正弦定理，即，解得，
因为，所以或，
当时，，为直角三角形，此时；
当时，，，所以。
14．等腰直角三角形
15．△ABC各边长分别为，，
外接圆面积为π
16．a＝6，b＝8
内切圆的半径为2
§ 1.1.2 余弦定理 (第一课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝a b，则∠C的大小为 ( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3. 在△ABC中，若，则其面积等于 （ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于 ( )
A． B． C． D．
5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则 ( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
8．在△ABC中，＝c2，sin A·sin B＝，则△ABC 一定是 ( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知△ABC的三边长分别是2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3(m＞0)，则最大内角的度数是________．
10．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
11．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．
12. 在△ABC中，若，则的值是_________.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤)
13．（本小题满分10分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin2-2cos2A=7.
(1)求角A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求b和c的值.
14．（本小题满分12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程
x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数； (2)求AB的长； (3)求△ABC的面积．
15.（本小题满分12分）
如果△ABC内接于半径为的圆，且求△ABC的面积的最大值.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16. 在△ABC中，若，且，边上的高为，求角的大小与边的长
§ 1.1.2 余弦定理 (第一课时) 答案
1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．A
9．120° 10．30° 11．120° 12．1
13.解：（1）由B+C=π-A,sin=cos,
即4cos2-cos2A=, 2(1+cosA)-(2cos2A-1)=.
4cos2A-4cosA+1=0,cosA=,A=60°.
(2)cosA==,
即b2+c2-3=bc,即(b+c)2-3=3bc.
14．(1)120° (2) (3)
15.解：
另法：
此时取得等号
16. 解：
，联合
得，即
当时，
当时，
∴当时，
当时，.
§ 1.1.2 余弦定理 (第二课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于 ( )
A．60° B．45°或135° C．120° D．30°
2．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段 ( )
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
3．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于 ( )
A．30° B．120° C．60° D．150°
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a b的值为 ( )
A． B．8－4 C．1 D．
6．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 ( )
A．1C.7．在△ABC中，若，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
8．在△ABC中，若则三边的比等于 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝
10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为________．
11．已知△ABC的内角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
12．在△ABC中，若则B的取值范围是_________.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．(本小题满分10分)已知△ABC的外接圆半径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，求a2+c2的取值范围.
14．(本小题满分12分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若b cos C＝(2a－c)cos B，
(Ⅰ)求∠B的大小；
(Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
15．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人 ( )
A．不能做出这样的三角形 B．能做出一个锐角三角形
C．能做出一个直角三角形 D．能做出一个钝角三角形
§ 1.1.2 余弦定理 (第二课时) 答案
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B
9．14∶11∶(－4) 10． 11． 12．
13．解：由A、B、C成等差数列，知B=60°.
由正弦定理有=2R,
有b=2RsinB=2×１×=,
即有b2=a2+c2-2arccosB=a2+c2-2ac×=a2+c2-ac.
即a2+c2=b2+ac＞3.
且有a2+c2=b2+ac≤3+a2+c2≤6,即a2+c2的范围为（3，6］.
14．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)．
又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，
∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝，B＝．
(Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac，
又 (a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，∴ S△ABC＝acsin B，
即S△ABC＝·3·＝．
15．解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B得
a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴ 2(a2－b2)＝－2bccos A＋2accos B，
＝．
由正弦定理得 a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，
∴＝＝＝．
故命题成立．
16．D
§ 1.2 应用举例 （第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得
∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为 ( )
A．10 km B．10km C．10km D．10km
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
A．a km B．a km C．a km D．2a km
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A．10 n mile B． n mile
C．5 n mile D．5 n mile
4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度
为 ( )
A．30＋30 m B．30＋15m
C．15＋30m D．15＋3m
5．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
则sin C的值为 ( )
A． B． C． D．
6．如图，一艘货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，
与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行
30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则
货轮的速度为 ( )
A．20(＋) 海里/小时 B．20(－) 海里/小时
C．20(＋) 海里/小时 D．20(－) 海里/小时
7．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为 ( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上)
8．如图，A、N两点之间的距离为________．
9．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
三、解答题(本大题共3个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(本小题满分12分)要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
12. (本小题满分12分)如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西的方向，经过20 min到达Ｄ处，测得B岛在北偏西的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？
13. (本小题满分12分) 如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东的方向，30 min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
四、探究与拓展（本题满分14分）
14. 一架飞以326km/h的速度，沿北偏东的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？
§ 1.2 应用举例 （第一课时） 答案
1．D 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B
8．40 9． 10．
11． km
12．解：在中，
，
（n mile），
根据正弦定理，
，，
．
在中，
，，
．
根据正弦定理，，
就是，
（n mile）．
(n mile)．
如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：
（min）
即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．
13.解：在中，mile，，
根据正弦定理，，
，
到直线的距离是（cm）．
所以这艘船可以继续沿正北方向航行．
14. 解：=km，
在中，根据余弦定理：
根据正弦定理： ，
，
，．
在中，根据余弦定理：
，
，
．
在中，根据余弦定理：
，
．，，
．
所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约km．
§ 1.2 应用举例 （第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知△ABC中，||=3，||=4，且·=-6，则△ABC的面积是( )
A．6 B．3 C．3 D．+
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为 ( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
3．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是 ( )
A．和 B．2和2
C．和 D．和
4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积
是 ( )
A．16 B．17
C．18 D．18.53
5．如图，如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，
BC=2BD，则sin C的值为 ( )
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于 ( )
A． B．
C． D．
7．△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且＝，则AD的长为 ( )
A．4(－1) B．4(＋1)
C．4(3－) D．4(3＋)
8．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则的取值是 ( )
A．-1 B．1 C．-2 D．2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB =45°，
则圆O的面积为 .
10．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0
的根，则此三角形的面积是________cm2.
11．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为，则a为_________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13． (本小题满分10分)在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△的面积S.
14．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
15．(本小题满分12分)如图，在中，点在边上，，，．
(1）求的值；
(2）求的长．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与点B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.
求证：＝＋.
§ 1.2 应用举例 （第二课时）答案
1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B
9．8π 10．6 11． 12．2
13.解:(I)由已知得:,
,则,
再由正弦定理可得:,所以成等比数列.
(II)若,则,∴,
,
∴△的面积.
14．(1)2 (2)2
15．解（1）因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以
．
(2）在△中，由正弦定理，得，
所以．
16．证明
∵S△ABP=S△APC+S△BPC，
∴PA·PB sin(α+β)
=PA·PC sinα+PB·PC sinβ，
两边同除以PA·PB·PC，
得
故 成立.
第一章 解三角形 习题课
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为 ( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
2．在△ABC中，A＝，BC＝3，则AB＋AC的长可表示为 ( )
A．6sin(B－) B．6sin(B＋)
C．2sin(B－) D．2sin(B＋)
3．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C等于 ( )
A． B． C． D．
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于 ( )
A． B．2 C． D．
5．若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若a2＝b c，则角A是 ( )
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．60°
二、填空题
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
8．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，
sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
三、解答题
10．在△ABC中，求证：＝.
11.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
12．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S的大小．
四、探究与拓展
13．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，求＋的值．
第一章 解三角形 习题课 答案
1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．A
7． 8．12 9．
10．证明 右边＝
＝·cos B－· cos A
＝·－·
＝－＝＝左边．
所以＝.
11．(1)120° (2)等腰的钝角三角形
12．(1) (2)
13．4
第一章 解三角形单元测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若，则最大角的余弦是 ( )
A． B． C． D．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于 ( )
A．－ B．－ C． D．
3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
4．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于 ( )
A．2 B．
C．2或 D．以上都不对
5．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2
则cos B等于 ( )
A． B． C． D．
6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 ( )
A． B． C． D．9
7．在△ABC中，角A、B均为锐角，且则△ABC的形状是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且
A＝75°，则b等于 ( )
A．2 B．－
C．4－2 D．4＋2
9．若＝＝，则△ABC是 ( )
A．等边三角形 B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一内角是30°的等腰三角形
10．在△ABC中，已知b2－b c－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为 ( )
A． B． C． D．6
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ( )
A． B． C．或 D．或
12．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 ( )
A． 小时 B． 小时
C．小时 D．小时
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为 ．
14．在△ABC中，－－＝________.
15． 在中，角的对边分别为，若成等差数列，，的面积为，则
16．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
17．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则
bccos A＋cacos B＋abcos C的值为________．
18．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若
a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度 ．
三、解答题(本大题共5个小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19．△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.
20．已知,,分别为三个内角,,的对边,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.
21. 一个人在建筑物的正西点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从点向南走到点，再测得建筑物顶的仰角是，设，间的距离是．
证明：建筑物的高是．
22．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
23．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足
sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为，求△ABC的周长．
第一章 解三角形单元测试题
答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A 9．C 10．A 11．D 12．A
13. 6∶5∶4 14. 15. 16.1 17.? 18.或
19. 解：（1）因为 3cos(B-C)-1=6cosBcosC
所以
即
所以
则
(2) 由(1)得,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理
则②,①②两式联立可得
或.
20. 解：(Ⅰ)由及正弦定理得
由于,所以,
又,故.
(Ⅱ) 的面积==,故=4,
而 故=8,解得=2.
法二:解: 已知:,由正弦定理得:
因,所以: ,
由公式:得:
,是的内角,所以,所以:
(2)
解得:
21.解：设建筑物的同度是，建筑物的底部是，则．
是直角三角形，是斜边，
所以，
，
．
所以，．
22．解：(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆的半径，
∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，
4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.
23. 解：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，
于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得
cos B＝＝＝，
∴ sin B＝＝．
由面积公式S△ABC＝ac sin B，得
·(2k)·(6k)·＝，
∴ k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13．
本题也可由三角形面积(海伦公式)得＝，
即k2＝，∴ k＝1．
∴ a＋b＋c＝13k＝13．
