人教版八年级下册18.2.3 正方形课件（共23张PPT）

(共24张PPT)
18.2.3 正方形
第十八章 平行四边形
第1课时 正方形的性质
学习目标
【学习目标】
1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
【学习重点】
正方形的定义、性质及判定方法.
【学习难点】
正方形的性质与判定定理的灵活运用.
做一做：用一张长方形纸片(如图所示)折出一个正方形,感知正方形与矩形的联系？
问题：什么样的四边形是正方形？
解：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.
解：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.
生成问题
活动2： 取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
45°
（
剪出的这个图形是哪一种四边形
活动1：把一个长方形纸片如图那样折一下.
A
B
C
D
四边形ABCD是什么四边形？
新知探究
正方形就在身边
情境引入
正方形的定义和性质
矩 形
正方形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢
正方形
矩 形
〃
正方形
邻边
相等
〃
发现：
一组邻边相等的矩形是正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
新知探究
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
归纳总结
正 方 形 的 性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四个角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD 是正方形∴AB∥CD, AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C
=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OC,OB=OD
轴对称图形 中心对称图形
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的
等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角
线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO
是全等的等腰直角三角形.
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
新知探究
如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗 为什么
解: BE = DE.理由如下：
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD
又点E在AC上
∴BE =DE
A
B
C
D
E
还可以用其他方法说明，试试看.
新知探究
例2 已知：如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵∠EBC= ∠ ECB= ∠ CEB=60°
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠ ABE= ∠ DCE=30°
∴∠ BAE= ∠ BEA= ∠ CDE= ∠ CED=75°
∴∠ EAD= ∠ EDA=90°-75°=15°
新知探究
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
新知探究
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
C
F
E
1．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第1题
第2题
45°
随堂练习
3.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 .
5
A
B
C
D
E
P
F
第3题
4.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
解：根据勾股定理：
BC2= EC2- EB2 = 302 – 102 = 800
∴BC=
∴这块场地的面积=
对角线AC =
30
10
随堂练习
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
5.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
随堂练习
6.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DG＝BE.
证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF
又由旋转可得∠DAG=∠BAE
∴△ DAG≌△ BAE（SAS)
∴DG=BE
随堂练习
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾反思
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
课堂小结