人教版A版（2019）课标高中数学选择性必修一1.2空间向量的基本定理 教案
文档属性
| 名称 | 人教版A版（2019）课标高中数学选择性必修一1.2空间向量的基本定理 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 655.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-14 20:54:40 | ||
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文档简介
空间向量基本定理
【教学目标】
1．知识目标（knowledge objective）：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
2. 能力目标（capability objective）：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会画空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
3．情感目标（emotion objective）：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
【教学重难点】
1. 空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
2. 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
【教学过程】
1．引入（intruduce）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）
学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
2．推广（extend）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？
学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，
=，=，=是空间任一向量，过P
作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，
由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面
向量的基本定理知向量与、共面，
则= x+y，所以，存在x，y，z使得=
x+y+ z。这样的实数x，y，z是否唯一呢？
用反证法证明：若另有不同于x，y，z的实数x1，y1，z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即（x－x1） +（y－y1） +（z－z1） =
又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x，y，z是唯一的实数。
这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
老师介绍相关概念：
其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如： +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。
通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0，则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0， y=0时，与共线；当x=0， z=0时，与共线；当\y=0， z=0时，与共线。
说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。
3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：
平面向量中成立的结论 空间向量中成立的结论（学生回答）
向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ 向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ（用来证明空间向量共线或直线平行）
同一平面的任意两个向量都共面 向量、是空间不共线的两个向量，则向量与向量、共面存在唯一实数x，y使得= x+y（用来证明空间向量共面）
若=，=，则+=，是平行四边形的对角线 若=，=，=，则++是平行六面体的体对角线
向量、不共线，则P在AB上存在实数λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1（用来证明三点共线） 向量、、不共线，则P在平面ABC内存在实数λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1（用来证明四点共面）
4．例题（examples）
例1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，
用基底{、、}表示以下向量：
（1），（2），（3）
分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法
则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。
解：（1）由P是CA1的中点，
得=（+）=（++）
=（++）
（2）=+=+=（+）++=++
法2：=+=++=++
（3）=+=+=+（+）=+
=（+）+
例2．在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：=（+）+，=+=+
=（+）+
则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？
分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[（+）+]
又=+，设=μ=μ（+）
则λ[（+）+]=μ（+）+，即
λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC
学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。
请学生板演平面几何证法：
易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，
所以=
5．练习（exercises）
已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，
判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？
+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行
－3=6－2+6－6－3＝6－5
－2=2+－2+4－6=－6+5
－3与－2共线但反向。
思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
6．反思（reconsider）
如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。
A
O
C
B
O
P
B
A
O
P
B
C
A
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
M
N
Q
O
A1
A
Q
C
C
C1
O
R
A
B
C
D
O
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【教学目标】
1．知识目标（knowledge objective）：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
2. 能力目标（capability objective）：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会画空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
3．情感目标（emotion objective）：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
【教学重难点】
1. 空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
2. 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
【教学过程】
1．引入（intruduce）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）
学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
2．推广（extend）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？
学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，
=，=，=是空间任一向量，过P
作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，
由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面
向量的基本定理知向量与、共面，
则= x+y，所以，存在x，y，z使得=
x+y+ z。这样的实数x，y，z是否唯一呢？
用反证法证明：若另有不同于x，y，z的实数x1，y1，z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即（x－x1） +（y－y1） +（z－z1） =
又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x，y，z是唯一的实数。
这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
老师介绍相关概念：
其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如： +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。
通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0，则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0， y=0时，与共线；当x=0， z=0时，与共线；当\y=0， z=0时，与共线。
说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。
3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：
平面向量中成立的结论 空间向量中成立的结论（学生回答）
向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ 向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ（用来证明空间向量共线或直线平行）
同一平面的任意两个向量都共面 向量、是空间不共线的两个向量，则向量与向量、共面存在唯一实数x，y使得= x+y（用来证明空间向量共面）
若=，=，则+=，是平行四边形的对角线 若=，=，=，则++是平行六面体的体对角线
向量、不共线，则P在AB上存在实数λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1（用来证明三点共线） 向量、、不共线，则P在平面ABC内存在实数λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1（用来证明四点共面）
4．例题（examples）
例1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，
用基底{、、}表示以下向量：
（1），（2），（3）
分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法
则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。
解：（1）由P是CA1的中点，
得=（+）=（++）
=（++）
（2）=+=+=（+）++=++
法2：=+=++=++
（3）=+=+=+（+）=+
=（+）+
例2．在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：=（+）+，=+=+
=（+）+
则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？
分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[（+）+]
又=+，设=μ=μ（+）
则λ[（+）+]=μ（+）+，即
λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC
学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。
请学生板演平面几何证法：
易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，
所以=
5．练习（exercises）
已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，
判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？
+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行
－3=6－2+6－6－3＝6－5
－2=2+－2+4－6=－6+5
－3与－2共线但反向。
思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
6．反思（reconsider）
如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。
A
O
C
B
O
P
B
A
O
P
B
C
A
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
M
N
Q
O
A1
A
Q
C
C
C1
O
R
A
B
C
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