人教版A版（2019）课标高中数学选择性必修一1.2空间向量的基本定理 学案

空间向量的基本定理
【学习目标】
1．了解共线向量的概念，向量与平面平行的意义；
2．理解共线、共面和空间向量的分解定理，并能利用它们解决简单问题。
【学习重难点】
1．空间向量的基本定理及应用；
2．空间向量的基本定理唯一性的理解。
【学习过程】
一、思考问题
1．共线（平行）向量：
2．共线向量定理：
思考一：类比平面中的平行向量基本定理能否得到空间向量共线的条件？
3．向量与平面平行：
（1）已知平面和向量，作，如果 ，那么我们说向量平行于平面，记作：。
（2）通常我们 的向量，
叫做共面向量。
思考二：空间任意的两向量都是共面的。那么任意三个向量呢？
任意三个向量满足什么条件才能共面呢？
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是：
思考三：怎样证明？
5．空间向量分解定理：
定理：
①线性表示式
②基底
③基向量
思考四：怎样证明？
由定理的证明过程可以得到下面的推论：
设O、A．B．C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使。
说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A．B．C四点共面。
二、例题：
例1．已知斜三棱柱，设，，。在面对角线上和棱上分别取点M和N，使，( )。求证：与向量和共面。
变式：已知，证明这三个向量共面
例2． 如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点，M是OD与CE的交点，试分别用向量表示和
变式：在长方体中，以，为基底表示
例3 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
变式：在平行六面体中，E，F分别是棱的中点，以，，
三、当堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A．与非零向量共线，与共线，则与共线
B．任意两个相等向量不一定共线
C．任意两个共线向量相等
D．若向量与共线，则
2．下列三个命题，真命题个数是（ ）个。
（1）三个非零向量不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面。
（2）两个向量 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 共线。
（3） 是两个不共线向量，而（x，y为非零实数），则 ，构成空间的一个基底
3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 (　　)
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
4． 在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)
5．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）。用 为基底表示
6．已知，，若，求实数的值。
7．变式：已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量
，
求证：四点共面；
8．如图所示，在平行六面体中，E、F分别在
和上，且，
（1）证明：、、、四点共面；
（2）若，求x＋y＋z。
O
A/
C
M
E
D/
B/
A
D
B
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