人教版A版（2019）课标高中数学选择性必修一1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案
文档属性
| 名称 | 人教版A版（2019）课标高中数学选择性必修一1.3.2空间向量运算的坐标表示 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 313.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-14 21:10:51 | ||
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文档简介
空间向量运算的坐标表示
【教学目标】
1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；
2．掌握空间向量坐标运算的规律；
3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4．会用中点坐标公式解决有关问题。
【教学重点】
空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。
【教学难点】
空间向量的坐标的确定及运算。
【授课类型】
新授课。
【课时安排】
1课时。
【内容分析】
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。
【教学过程】：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，
2．平面向量的坐标运算
若，，则，
，
若，，则
3．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
4平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
5．平面内两点间的距离公式
（1）设，则或。
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
6．向量垂直的判定
设，，则
7．两向量夹角的余弦（）
cos＜a，b＞= cos=＝
8．空间向量的基本定理：若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使。
二、讲解新课：
1．空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴。我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系。
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，
则存在唯一的有序实数组，使，
有序实数组叫作向量在空间直角坐标系
中的坐标，记作。
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一
的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，
，
。
（2）若，，
则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
三、讲解范例：
例1.已知，，求，，，，。
解：，
，
，
，
。
例2．求点关于平面，平面及原点的对称点
解：∵在平面上的射影，
在平面上的射影为，
∴点关于平面的对称点为，
关于平面及原点的对称点分别为，。
例3.在正方体中，分别是的中点，求证平面。
证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，设，，，
分别以为坐标向量建立空间直角坐标系，
则，，
，
∴，
又，，
∴，，
所以，平面。
四、课堂练习：
1．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标
分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E‘点，此时|x|＝|y|＝|z|＝，当的方向与x轴正向相同时，x＞0，反之x＜0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。
解：D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，，D1(0，0，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)
2．已知a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a b。
解：a＋b＝（2，－3，5）＋（－3，1，－4）＝（－1，－2，1），
a－b＝（2，－3，5）－（－3，1，－4）＝（5，－4，9），
8a＝8（2，－3，5）＝（16，－24，40），
a b＝（2，－3，5） （－3，1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29
3．在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1．CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则
又
∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE
①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。
②原点的坐标为(0，0，0)，x轴上的坐标为(x，0，0)，y轴上的坐标为(0，y，0)，z轴上的坐标为(0，0，z)。
③要使一向量a＝(x，y，z)与z轴垂直，只要z＝0即可事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。
五、小结
1． 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标；
2． 掌握空间向量坐标运算的规律；
3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4．会用中点坐标公式解决有关问题；
5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算。
【教学反思】
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时。有向线段终点的坐标与向量的坐标相同。这一点务必向学生讲清楚；
明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算巩固空间向量数量积的概念；
熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。
【教学目标】
1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；
2．掌握空间向量坐标运算的规律；
3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4．会用中点坐标公式解决有关问题。
【教学重点】
空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。
【教学难点】
空间向量的坐标的确定及运算。
【授课类型】
新授课。
【课时安排】
1课时。
【内容分析】
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。
【教学过程】：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，
2．平面向量的坐标运算
若，，则，
，
若，，则
3．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
4平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
5．平面内两点间的距离公式
（1）设，则或。
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
6．向量垂直的判定
设，，则
7．两向量夹角的余弦（）
cos＜a，b＞= cos=＝
8．空间向量的基本定理：若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使。
二、讲解新课：
1．空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴。我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系。
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，
则存在唯一的有序实数组，使，
有序实数组叫作向量在空间直角坐标系
中的坐标，记作。
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一
的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，
，
。
（2）若，，
则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
三、讲解范例：
例1.已知，，求，，，，。
解：，
，
，
，
。
例2．求点关于平面，平面及原点的对称点
解：∵在平面上的射影，
在平面上的射影为，
∴点关于平面的对称点为，
关于平面及原点的对称点分别为，。
例3.在正方体中，分别是的中点，求证平面。
证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，设，，，
分别以为坐标向量建立空间直角坐标系，
则，，
，
∴，
又，，
∴，，
所以，平面。
四、课堂练习：
1．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标
分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E‘点，此时|x|＝|y|＝|z|＝，当的方向与x轴正向相同时，x＞0，反之x＜0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。
解：D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，，D1(0，0，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)
2．已知a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a b。
解：a＋b＝（2，－3，5）＋（－3，1，－4）＝（－1，－2，1），
a－b＝（2，－3，5）－（－3，1，－4）＝（5，－4，9），
8a＝8（2，－3，5）＝（16，－24，40），
a b＝（2，－3，5） （－3，1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29
3．在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1．CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则
又
∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE
①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。
②原点的坐标为(0，0，0)，x轴上的坐标为(x，0，0)，y轴上的坐标为(0，y，0)，z轴上的坐标为(0，0，z)。
③要使一向量a＝(x，y，z)与z轴垂直，只要z＝0即可事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。
五、小结
1． 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标；
2． 掌握空间向量坐标运算的规律；
3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4．会用中点坐标公式解决有关问题；
5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算。
【教学反思】
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时。有向线段终点的坐标与向量的坐标相同。这一点务必向学生讲清楚；
明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算巩固空间向量数量积的概念；
熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。