课件10张PPT。数学与音乐组长:宋欢
组员:高雪.褚欣怡.王荟羽(一)音乐与数学结合的起源最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。
1.乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度
2.协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出
3.被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。 所谓协和，就是指两个内容，特别是感觉内容，不止相加起来，而且成为一个整体的那种关系。当人们听到同时并起的乐音，不仅在感觉上会发生特种关系，而且同时产生乐音的联结关系，会随它们彼此振动数的比率而不同。如果同时并起的乐音和谐程度较高，整个印象越近于单个统合印象，就越难分析。 ..
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律
基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的
泛音：以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。 纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式 确定，公比为1.05946，是2开12次方的算数根。
a(1)=a,a(n)为公比为r（r不等于0）的等比数列。
通项公式，
a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=
a(1)r^(n-1)=ar^(n-1).
纯律，是用纯五度（弦长之比为2：3）和大三度(弦长之比为4：5）确定音阶中各音高度的一种律制 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1时，an为常数列.
（1）等比数列的通向公式是：An=A1*q^（n－1）
??
等比数列通式
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
?? 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比中项公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2
（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和. 音程转位
音程：两个音之间在音高上的关系 单音程：八度以内的音程 音程转位：将音程的冠音和根音相互颠倒位置 (二)乐理中的数学奥秘 音程转位
对单音程而言，原音程及其转位音程的度数之和为9。
在音符方面，小于全音符的诸音符由除法确定，如二分音符为全音符的 ，四分音符为全音符的 。
拍子是拍的分组，如 拍子是以全音符的
为1拍，每小节有3拍，即 ，而 拍子可认为以全音符的 为一拍，每小节有6拍，即 。
？？(三)乐曲结构与黄金分割乐谱结构课件8张PPT。某部作品第三乐章89小节B
34小节A
21小节 A
34小节一
21小节二
13小节二
8小节一
13小节二
21小节一
13小节高潮
55小节34：55
13：21
21：34
8：13
黄金分割
8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和）。这个数列前两项之比1:1反映对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约。和声的傅立叶分析 一个音叉所发出的声音，其图像就是一个正弦函数，任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率。根据傅立叶定理可推断得出：do和高音do是最和谐的
傅立叶还发现每种声音都有三种品质：与曲线的频率有关与曲线的振幅有关与周期函数的形状
有关音量音调音色
乐器中的数学奥妙 能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的
、 、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣箱有较大体积；高音乐器则反之，发音高，声波短，所以共鸣箱需较小体积。
由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱，适合于不同高度音响的需要。如中央C音频率为261.63Hz，波长1.3米，波长的 是0.325米，为保证该音共鸣，则共鸣箱的内空至少有一个方位为0.325米（或其2、4、8等倍数）。音越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性。 乐器之王——钢琴的键盘，其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关。在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列中的前几个数。 音乐是心灵的算术练习。
——莱布尼茨
音乐是由数规定的运动。
——奥古斯丁 音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。虽然音乐与数学描述世界的方式不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，因此两者可以从根本上统一起来，成就了一种必然。Thank yuo!
