北师大版九年级下册 3.3 垂径定理 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册 3.3 垂径定理 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 297.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 22:04:36 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.
2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
学习目标
③AM=BM,
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
●O
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
【问题】
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理 由：
M
垂直于
平分这条弦，
并且平分弦所对的弧.
弦
的直径
在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴ AM = BM = AB，
定理：
┗
在⊙O中，直径CD平分弦AB
∴ CD⊥AB
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理：
弦
（不是直径）
并且平分弦所对的弧
平分
的直径
垂直于弦，
结论：
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= ，OC = .
┏
5
8
4
3
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
OA = 10，则∠OCA = °，
OC = .
16
10
90
6
【巩固练习】
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
└
【例题】
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
根据勾股定理，得：AO2=OM2+AM2
∴ AB=2AM=2×8=16.
└
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点
O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且
OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
└
解:连接OC.
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）
对
错
错
对
【跟踪训练】
●O
●M
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点.
A
B
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6
随堂练习
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤
正确结论的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案:B
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
．
答案:B
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm
答案:D
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
答案：D
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
课堂小结
第三章 圆
3.3 垂径定理
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.
2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
学习目标
③AM=BM,
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
●O
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
【问题】
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理 由：
M
垂直于
平分这条弦，
并且平分弦所对的弧.
弦
的直径
在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴ AM = BM = AB，
定理：
┗
在⊙O中，直径CD平分弦AB
∴ CD⊥AB
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理：
弦
（不是直径）
并且平分弦所对的弧
平分
的直径
垂直于弦，
结论：
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= ，OC = .
┏
5
8
4
3
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
OA = 10，则∠OCA = °，
OC = .
16
10
90
6
【巩固练习】
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
└
【例题】
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
根据勾股定理，得：AO2=OM2+AM2
∴ AB=2AM=2×8=16.
└
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点
O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且
OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
└
解:连接OC.
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）
对
错
错
对
【跟踪训练】
●O
●M
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点.
A
B
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6
随堂练习
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤
正确结论的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案:B
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
．
答案:B
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm
答案:D
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
答案：D
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
课堂小结