数学高中苏教版选修（2-2）1.3《导数在研究函数中的应用》课件4

课件50张PPT。1．3. 导数的应用理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得①________和②________并且函数的最值必在③________或④________取得．
2.求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)⑤________；
(2)将函数y＝f(x)的⑥________与⑦________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值：自我校对：①最大值　②最小值　③极值点处　④端点处　⑤在[a，b]内的极值　⑥各极值　⑦端点处的函数值f(a)，f(b)
1.下列说法正确的是 (　　)
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：最值与极值概念．故选D.
答案：D*2．函数y＝|x－1|，下列结论正确的是(　　)
A．y有极小值0，且0也是最小值
B．y有最小值0，但0不是极小值
C．y有极小值0，但0不是最小值
D．因为y在x＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选A.
答案：A*答案：B练习4-5答案：2，－25．求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2在区间[－1,1]上的最值．
解析：f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)，
因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，所以f(x)在[－1,1]上是增函数，
故当x＝－1时，f(x)取得最小值－12；当x＝1时，f(x)取得最大值2.
即f(x)的最大值为2，最小值为－12.
1.函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值的充分而非必要条件．
2．当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．
3．当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．4．函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处，则必为极值．
5．函数f(x)在区间(a，b)上的最值
在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：
如图，图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值； 图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；
图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；
图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
[分析]　求函数在闭区间[a，b]上的最值．应先求极值，再求区间端点值，然后比较极值与端点值，从而找出最大值和最小值．∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π，f(x)有最大值f(2π)＝π.
当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
[点拨]　(1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内．
(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．练 1　　求下列函数在给定区间上的最大值与最小值．
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；[解]　(1)f′(x)＝6x2－6x－12，
令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，即x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，
∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．∴f(x)＝x3－3x2＋6x－2在[－1,1]上的最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.
(3)f′(x)＝2cos2x－1，
已解例2：
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[分析]　函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即可．[解]　显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[点拨]　本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想．练 2：　已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 (　　)
A．－37　　　　　　 B．－29
C．－5 D．－11
[解析]　由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.
[答案]　　A 思？[分析]　在函数、不等式的交汇点处命题，将不等式恒成立问题，转化为利用导数求函数最值的问题．
即证明x>0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x>0恒成立．
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，
则g′(x)＝ln(x＋1)－1.
当x>e－1时g′(x)>0；当0∴当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e>0.∴当x>0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x>0恒成立．
因此正整数k的最大值为3.
*[点拨]　解决含参不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法．若f(x)>m恒成立?f(x)min>m，若f(x)(1)求a、b的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)故要使f(x)只需k2>f(2)，即k2>2＋k，解得k<－1或k>2.
∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
删例4：　动点P(x，y)是抛物线y＝x2－2x－1上的点，O为原点，设S＝|OP|2，求S的最小值．
[分析]　以函数、不等式、解析几何、立体几何等知识为载体，求某些具体问题的最值．[解析]　S＝|OP|2＝x2＋y2＝x2＋(x2－2x－1)2
＝x4－4x3＋3x2＋4x＋1，
S′＝4x3－12x2＋6x＋4＝2(x－2)(2x2－2x－1)[点拨]　解析几何中求最值问题，是高考常考问题，利用导数法求最值，为突破解析几何的难点，提供了便捷的工具，体现了导数法研究函数的优越性．练 4：　(2009·重庆)已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．
(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
(2)若当x＝－1时，函数y＝g(x)取得极值，确定y＝g(x)的单调区间．[解]　(1)因f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，故f(－x)＝f(x)．
即(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c，从而b＝－b，解b＝0.
又函数y＝f(x)过点(2,5)，得4＋c＝5，c＝1，
g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a，
从而g′(x)＝3x2＋2ax＋1.
因曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，故g′(x)＝0有实数解，
(2)因函数g(x)在x＝－1处取得极值，故g′(－1)＝0.
即3－2a＋1＝0，解得a＝2.
又g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)，
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．[分析]　本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的取值范围．
[解]　(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a
＝(x－2)(x－2a)．
当a>1知，当x<2时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，2)是增函数．
当2故f(x)在区间(2,2a)是减函数；
当x>2a时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(2a，＋∞)是增函数．
综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．