数学高中苏教版选修（2-1）3.1《空间向量及其运算》复习课件

课件34张PPT。1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
[思考探究]
　　若a与b确定平面为α，则表示a的有向线段与α的关系是怎样的？
提示：可能与α平行，也可能在α内.3.空间向量的数量积及运算律
4.空间向量的坐标运算
(1)a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3).(2)空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝
1.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则 ＋
( ＋ )等于 (　　)
A. 　　　　　　　　　B.
C. D.
解析： ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＝ .
答案：A
2.下列命题中，不正确的命题个数是 (　　)
①空间任意五边形ABCDE，则 ＝0；
②若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行；
③空间任意两非零向量a、b共面；
④空间向量a平行于平面α，则a所在直线平行于平面α.
A.1 B.2
C.3 D.4
.解析：由向量加法知①正确；当a∥b时，a与b所在直线平行或重合，故②是错误的；很明显③是正确的；根据向量与平面平行的定义知，④是错误的.
答案：B
3.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ
的值分别为 (　　)
A. B.
C.5,2 D.－5，－2
解析：a∥b?答案：A
4.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|
＝6，a·b＝30，则 ＝　　　　.解析：∵|a|＝5，|b|＝6，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
＝30cos〈a，b〉＝30，∴cos〈a，b〉＝1，∴a＝λb(λ>0)，
从而25＝36λ2，λ＝ ，∴ ＝λ＝ .
答案：
5.已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则
与 的夹角θ 的大小是　　　　.解析： ＝(－2，－1,3)， ＝(－1,3，－2)，
∴| |＝ ，| |＝ ， · ＝－7.
∴cosθ ＝ ＝－ ，∴θ ＝120°.
答案：120°
　 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
1.把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和
差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.
2.用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底
的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，
如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.
专题讲解 如图，在长方体ABCD－
A1B1C1D1中，O为AC的中点.
(1)化简： ；
(2)设E是棱DD1上的点，且
＝ ，若 ＝x ＋y ＋z ，试求x、y、z的值.
[思路点拨]
[课堂笔记]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝
DD1.
(1)证明： ＝ ＋ ；
(2)若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z.
解：(1)证明：1.点共线问题
证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、
B、C三点共线，即证明 与 共线.
2.点共面问题
点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、
C四点共面，只要能证明 ＝x ＋y ，或对空间任一点O，有 或
(x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件.
[思路点拨]
四点共面，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明．　　用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题.
1.求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标
向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自
身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝ .
2.在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的
工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成
两个相等向量的数量积的计算问题.
[特别警示]　求向量的数量积关键是求出两个向量的模和夹角.
在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图).求B、D间的距离.[思路点拨]
[课堂笔记]　∵∠ACD＝90°，∴ ＝0.
同理 · ＝0.
∵AB和CD成60°角，∴〈 〉＝60°或120°.
＝3＋2×1×1×cos〈 〉
＝
∴| |＝2或 ，即B、D间的距离为2或 .
　 [考题印证]
(2010·珠海模拟)(12分)已知正三棱
柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，
AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC、
A1C1的中点，建立如图所示的空间
直角坐标系.
(1)求正三棱柱的侧棱长；
(2)若M为BC1的中点，试用基向量 、 、 表示向量
(3)求异面直线AM与BC所成的角.
【解】　(1)设正三棱柱的侧棱长为a，则
A(0，－1,0)，B1( ，0，a)，B( ，0,0)，C1(0,1，a)，
∴ ＝( ，1，a)， ＝(－ ，1，a).┄┄┄┄(2分)
∵AB1⊥BC1，∴ ，
∴ ＝0，即－3＋1＋a2＝0，∴a＝ .
即正三棱柱侧棱长为 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)
(3)由条件知，〈 〉＝120°，〈 〉＝60°，〈 〉＝90°.
＝ (－2×2· ＋2×2× ＋0)＝0，
∴ ，即异面直线AM与BC所成角为90°.(12分)
1.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则（ ）
A.p＝3，q＝2　　　　　　　　　B.p＝2，q＝3
C.p＝－3，q＝－2 D.p＝－2，q＝－3
解析： ＝(1，－1,3)， ＝(p－2，－1，q＋1)，
由题意知，存在实数λ，使 ＝λ ，即λ＝1，p＝3，q＝2.
答案：A
2.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦
值为 ，则λ＝ (　　)
A.－2或 B.－2
C.－ D.2或－
解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝ ，|b|＝3，
∴cos〈a，b〉＝ ＝ ，
∴λ＝－2或λ＝ .
答案：A
3.已知四边形ABCD满足： ＞0，
＞0，则该四边形为 (　　)
A.平行四边形 B.梯形
C.平面四边形 D.空间四边形
解析：由题意知，∠B，∠C，∠D，∠A的补角均为锐角，故A、B、C均不正确.
答案：D
4.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么
b·(2a＋b)的值为　　　　.解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
＝4×4×cos120°＝－8，
∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×(－8)＋42＝0.
答案：0
5.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，
AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成
30°角，则C、D间的距离为 　 　.　
解析：∵AC⊥α，∴AC⊥AB，
∴ ＝0，
过D作DD′⊥α于点D′，则DD′∥CA，
∴〈 〉＝120°，
∴ ＝－ ，又 ，∴ ＝0，
∴| |2＝( )2＝1＋1＋1＋2×(－ )＝2，
∴| |＝ ，即C、D间的距离为 .
答案：
6.如图所示，在空间四边形OABC中，
OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求
OA与BC所成角的余弦值.
解：∵
故OA与BC所成角的余弦值为 .