华师大版八年级下册19.3 正方形的判定与性质 课件（共19张ppt）
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级下册19.3 正方形的判定与性质 课件（共19张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 991.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:47:30 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
19.3 正方形
华东师大·八年级数学下册
思考：在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢
正方形
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？
邻边相等
有一个直角
观看下列图片，想一想一个矩形或者一个菱形如何才能变成一个正方形？
正方形的定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
由定义可知：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个直角的菱形。那它就应该具备菱形和矩形的所有性质。
正方形的性质：
边：对边平行，四边都相等。
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
O
对称性：
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线，两组对边的中垂线.
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每一条对角线平分一组对角
C
随堂练习
A
B
C
D
O
解: ∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD
∴ ∠AOB=90°
又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形.
∴ ∠BAD=90°, 且AC平分∠BAD
∴ ∠OAB=45°
2.如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数。
随堂练习
例1、已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.
求证:BE=DE
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）
A
B
C
D
E
例题讲解
正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
解：
∵四边形ABCD为正方形，
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是△CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
j
F
E
A
B
D
C
巩固练习
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
思考：那么，如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
正方形的判定：
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
思考：那么，如何判定一个四边形是正方形呢？
正方形的判定：
通过以上探索，你觉得什么样的四边形是正方形呢
讨论
1、要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是（ ）。
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（ ）。
3、要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件是：（ ）。
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
平行四边形
菱
形
正方形
平行四边形
矩形
正方形
----下列说法对吗
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线垂直的平行四边形是正方形.
5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
7.对角线互相垂直的矩形是正方形.
8.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形.
╳
√
╳
╳
√
√
√
╳
√
随堂练习
例2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F．
求证： 四边形CFDE是正方形．
证明 ∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，
∴ DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
∴ 四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ 四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
例题讲解
例3、求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
已知：如图，四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明： ∵AO＝CO,BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形又AC＝BD
∴平行四边形ABCD是矩形
又∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，
即四边形ABCD是正方形
解题小结：正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而得到这个四边形是正方形。
请大家先根据题意，画出图形然后写出已知、求证.
在选择填空题时可以使用该结论，证明题中也必须证明才可以使用。
边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分、相等
菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 对角线互相垂直、平分
正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直、平分且相等
归纳小结
随堂练习
1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
2、如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF-BF=EF.
证明：∵∠BAF+∠DAE=90°，
又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE.
又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.
随堂练习
19.3 正方形
华东师大·八年级数学下册
思考：在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢
正方形
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？
邻边相等
有一个直角
观看下列图片，想一想一个矩形或者一个菱形如何才能变成一个正方形？
正方形的定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
由定义可知：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个直角的菱形。那它就应该具备菱形和矩形的所有性质。
正方形的性质：
边：对边平行，四边都相等。
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
O
对称性：
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线，两组对边的中垂线.
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每一条对角线平分一组对角
C
随堂练习
A
B
C
D
O
解: ∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD
∴ ∠AOB=90°
又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形.
∴ ∠BAD=90°, 且AC平分∠BAD
∴ ∠OAB=45°
2.如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数。
随堂练习
例1、已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.
求证:BE=DE
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）
A
B
C
D
E
例题讲解
正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
解：
∵四边形ABCD为正方形，
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是△CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
j
F
E
A
B
D
C
巩固练习
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
思考：那么，如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
正方形的判定：
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
思考：那么，如何判定一个四边形是正方形呢？
正方形的判定：
通过以上探索，你觉得什么样的四边形是正方形呢
讨论
1、要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是（ ）。
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（ ）。
3、要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件是：（ ）。
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
平行四边形
菱
形
正方形
平行四边形
矩形
正方形
----下列说法对吗
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线垂直的平行四边形是正方形.
5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
7.对角线互相垂直的矩形是正方形.
8.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形.
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╳
╳
√
√
√
╳
√
随堂练习
例2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F．
求证： 四边形CFDE是正方形．
证明 ∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，
∴ DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
∴ 四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ 四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
例题讲解
例3、求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
已知：如图，四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明： ∵AO＝CO,BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形又AC＝BD
∴平行四边形ABCD是矩形
又∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，
即四边形ABCD是正方形
解题小结：正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而得到这个四边形是正方形。
请大家先根据题意，画出图形然后写出已知、求证.
在选择填空题时可以使用该结论，证明题中也必须证明才可以使用。
边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分、相等
菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 对角线互相垂直、平分
正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直、平分且相等
归纳小结
随堂练习
1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
2、如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF-BF=EF.
证明：∵∠BAF+∠DAE=90°，
又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE.
又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.
随堂练习