6.1平面向量的概念 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列命题中正确的个数为（ ）
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则、、、四点共线；
③若非零向量与共线，则；
④四边形是平行四边形，则必有；
⑤，则、方向相同或相反.
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
3．下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
4．下图中与向量相等的向量是（ ）
A．，，， B．， C． D．
5．如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．下列结论中，正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
7．设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
8．下列五个命题，共中正确命题序号是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量，必有
C．若向量，共线，则 D．若，则与的方向相同或相反
9．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
11．在边长为的正三角形中，的值为
A． B． C． D．
12．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
二、填空题
13．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．
14．下列命题中，正确的是______（填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
15．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.
（1）若与都是单位向量，则.（ ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.（ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（ ）
（4）若与是平行向量，则.（ ）
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量.（ ）
16．已知四边形中，，且，则四边形ABCD的形状是___________.
17．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.
三、解答题
18．已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，计算.
19．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
20．已知在四边形中，，，，，且，判断四边形的形状.
21．图是中国象棋的半个棋盘示意图，“马走日”是象棋中“马”的走法，“马”可从A跳到，也可从A跳到，用向量，表示“马”走了“一步”，试在图中画出“马”分别在B，C处走了“一步”的所有情况.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据相等向量的定义判断①的真假；根据共线向量的定义判断②的真假；根据共线向量的等价条件判断③的真假；根据相等向量的定义判断④的真假；取判断⑤的真假.
【详解】
①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题；
②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题；
③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题；
④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题；
⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题.
故选：B.
本题考查相等向量、共线向量的有关知识，需掌握相等向量、共线向量的定义和特点，属简单题.
2．B
根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】
在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
3．D
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
4．D
由相等向量的定义求解即可
【详解】
由相等向量的定义可知：
两个向量的长度要相等，方向要相同，
结合图形可知满足条件，
故选：D
5．B
根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.
【详解】
对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；
对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，
对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.
故选：B.
6．D
根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.
【详解】
A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；
B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；
C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；
D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，
故选：D.
7．A
【详解】
由平方得，即，则，故选A.
本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
8．B
对于A：利用单位向量的定义进行否定；
对于B：对，同向、反向、不共线，分别讨论；
对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断
对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.
【详解】
对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，：若，同向，必有；若，反向，必有；若，不共线，向量加法的三角形法则，必有.综上所述：对于任意向量，必有，故B正确；
对于C：若向量，共线，则，的夹角为0或π，所以，故C错误；
对于D：若，则与的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向量的方向是任意的.
故选：B
9．B
根据向量的定义依次判断即可.
【详解】
①中，的大小不能确定，故①错误；
②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；
③中，为任一非零向量，则，故③正确；
④中，由题，故④错误.
故选：B．
10．C
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.
【详解】
对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：C.
11．D
以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案.
【详解】
以、为邻边作菱形，则，
由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，
即，因此，，故选：D.
本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12．D
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
13．
设，根据所给运算的定义计算可得.
【详解】
解：设
由，
可得解得
∴．
故答案为：
本题考查新定义运算，关键是掌握向量的坐标运算，属于基础题.
14．③
利用向量的概念、共线对选项进行逐一判断，可分析处正确的选项.
【详解】
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量.
②不正确，若与中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故这两个向量的方向不一定相同或相反.
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较大小.
故答案为：③
本题考查向量的概念和共线的定义，属于基础题.
15．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√.
（1）根据相等向量的定义判断即可；
（2）根据方位角的定义和共线向量的定义判断即可；
（3）根据向量的定义直接判断即可；
（4）根据平行向量和相等向量的定义判断即可；
（5）根据相等向量的定义进行判断即可；
（6）根据向量的定义直接判断即可.
【详解】
解：（1）×因为单位向量的长度（模）尽管都是1，但方向不一定相同.
（2）√因为两个向量的方向相反，所以是共线向量.
（3）×因为x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量.
（4）×因为同向或反向的向量是平行向量，a与b的方向不一定相间，模也不一定相等，所以不一定成立.
（5）√假设点M与N重合，则，这与与不相等矛盾.所以点M与N不重合.
（6）√因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量.
故答案为：×；√；×；×；√；√
本题考查了相等向量的定义，考查了向量的定义，考查了平行向量的定义，考查了单位向量的定义，属于基础题.
16．等腰梯形
由，得到且，得出是梯形，再根据，得到四边形是等腰梯形.
【详解】
由题意，向量，可得且，
即线段平行于线段，且线段的长度是线段长度的一半，
所以四边形是梯形，
又因为，所以梯形的两个腰相等，所以四边形是等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
17．3
【详解】
由条件知是的重心，设是边的中点，
则，而，
所以.
18．.
根据条件作出图象，利用向量的运算，将用表示出来，求出，得到答案.
【详解】
由题作图如图所示，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算，将向量用确定的两个向量线性表示，属于容易题.
19．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】
(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
20．矩形
由四边形中得，，再根据向量的数量积运算得，，可知四边形为平行四边形，再得，可得，可判断四边形的形状.
【详解】
在四边形中，，，，四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有，
∴，∴，即.
又，∴.①，
同理有，∴，
即.又，，②
由①②可得，，即此四边形两组对边分别相等.故四边形为平行四边形，
另一方面，由，得，由平行四边形得，
代入上式得，即，故有，即.
综上，四边形是矩形.
本题考查根据向量间的关系判断四边形的形状，关键在于向量的数量积得向量的模和向量的夹角的关系，属于中档题.
21．见解析
根据“马”走“日”得到答案.
【详解】
解：如图所示.
（1）在B处“马”有3种走法，而在C处“马”有8种走法.
（2）用有向线段表示向量，一定要注意其方向，并用箭头在图中标出.
本题考查向量的表示，属于基础题.
答案第1页，共2页
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