6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．在中，角所对的边分别为.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
8．在△ABC中，角A B C的对边分别为a b c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
11．已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
12．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为
A． B．
C． D．
二、填空题
13．在中，已知，，，则_________.
14．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．
15．在中，，则该三角形的形状是___________.
16．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.
三、解答题
17．仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，）
（1）求流星发射点近似高度；
（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
18．如图，在中，点D是边上一点，
(1)求的大小；
(2)若的面积为，求边的长．
19．某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和两条索道，，如图所示.山顶处有一个宾馆，宾馆需要将储存在处的一批蔬菜一次性运送到宾馆处，有三种运输的方案：方案一，先将这批蔬菜运送到处，然后由挑夫（专门负责将山下物品以肩挑的形式将物品运送到山上的工作人员）从处挑到处；方案二，先通过索道将处的蔬菜运送到处，然后由挑夫从处挑到处；方案三，通过索道直接将处的蔬菜运送到处.已知，，，，挑夫挑这批蔬菜每走的山路，宾馆需支付元的费用，将这批蔬菜从处运送到处，宾馆需要付出元的费用，两条索道运送这批蔬菜每需要付给景区相关部门元的费用，问选择哪一种方案，可使宾馆付出的费用最少？（参考数据：，）
20．如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
21．已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由题设可以得到边长为3和边长为的边所对的角必须为锐角，从而可得关于的不等式组，其解即可所求的范围.
【详解】
由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，
只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，
于此得到，
由于，解得，
故选：B.
本题考查锐角三角形中各边满足的条件，一般地，中，如果为锐角，则，本题属于基础题.
2．C
根据正弦定理边化角为，由，所以，即可得解.
【详解】
由题意变形，利用正弦定理化简可得：
，
即，
所以，
由，所以，
所以，
故选：C
3．A
利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
4．A
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理得：，即，解得：.
故选：A
5．B
由已知平方可得，得出可判断.
【详解】
，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
6．B
先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
7．B
利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】
由，
则，
即，
整理可得，
所以为直角三角形.
故选：B
8．A
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A【详解】
解：∵在△ABC中，B=60°，
∴根据正弦定理，可得，
又∵在△ABC中a故选：A.
9．A
由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．
【详解】
在△ABC中，bcosA＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，
可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，
即sinAcosB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，
由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.
10．B
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
11．C
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】
A．因为，所以，
即
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以
，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：C
12．B
先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴，则,
则表示轴上的点P与A和的距离和，
利用对称性，关于轴的对称点为，
可得的最小值为=.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.
13．3
设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．
【详解】
解：设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
14．3
由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案
【详解】
解：因为，
所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,
所以，
所以，
故答案为：3
15．直角三角形
首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.
【详解】
因为，结合正弦定理得：，
由余弦定理得，
所以，
即，
所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
16．
结合平面向量的线性运算，可推出，从而可知点在边上，且，进而可得，即可得出答案.
【详解】
由题意，，
所以，即.
所以在△中，点在边上，且，
设点到边上的高为,则.
故答案为：.
若，则三点共线，且.
17．（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析.
（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得；
（2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论
【详解】
（1）因为，则，所以为等边角形，所以．
又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得，
在中，由余弦定理：
．
所以，所以公里．
（2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．
18．(1)；
(2).
（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.
(1)
，因为，
所以，
；
(2)
由正弦定理可知：
，
因为的面积为，
所以，于是，
由余弦定理可知：
.
19．选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少
利用正余弦定理分别计算的长度，再计算运费，即可得到答案；
【详解】
解：因为，
所以，即.
因为，故
所以（舍去），所以.所以.
在中，由题意知，，所以.
因为，由正弦定理，解得.
在中，由余弦定理
得
即，解得（负值舍去），.
利用方案一运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
利用方案二运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）；
利用方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
因为，
所以选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.
（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.
（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.
【详解】
（1）以点A为原点建系，得,,，
∴.
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值.
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，故最小值是.
21．（1）答案见解析；（2）.
（1）由三角恒等变换得，再结合五点法列表作图即可.
（2）结合（1）和得，进而由正弦定理得，，再根据面积公式并结合三角恒等变换求解即可得答案.
【详解】
解：（1）函数
，
利用“五点法”列表如下，
0
0 1 0 0
画出在上的图象，如图所示；
（2）在中，，(A)，
可知，或，
解得或，故；
由正弦定理可知，即，，
，
∵ 锐角三角形，∴ ，
,，
∴的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页