必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
2．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线
D．若是三条直线，且与都相交，则直线共面.
5．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
7．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．直线a上的点到平面α的距离相等
B．直线a平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线a平行
D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角
9．设是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，，，则②，则③若，则④若，则，其中正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A P Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形 D．当时，的面积为
11．设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么
12．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
二、填空题
13．底面为正方形的直四棱柱中，，，点E是的中点则异面直线与所成角的大小为________．
14．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.
15．如图①，矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折，使得平面和平面垂直，如图②，连接，则异面直线和所成角的余弦值为______.
16．已知是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若，，，，则点P与直线l的位置关系用符号表示为_________.
17．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
三、解答题
18．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
（1）求证：直线平面PQR；
（2）求证：点K在直线MN上.
19．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱是四棱锥的高，且，是侧棱上的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角；
20．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AM和CN共面；
（2）D1B和CC1是异面直线．
21．已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
2．D
根据题意还原正方体，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据题意，还原正方体，如图所示，
连接，可得，又由，所以，所以A正确；
由正方体的结构特征，可知，所以B正确；
因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确；
根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误.
故选：D.
3．A
如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
4．D
利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】
A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
5．D
根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.
【详解】
解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；
对于选项B：若，则，故选项B错误；
对于选项C：当时不满足，故选项C错误；
综上，可知选项D正确.
故选：D.
6．D
根据两平面平行的性质即可得出答案.
【详解】
若α//β，则内的直线与内的直线没有交点，
所以当m α，n β，则直线m与n的关系是平行或异面.
故选：D
7．B
设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.
【详解】
设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，
则，，
所以为异面直线与所成的角，
在三角形中，，，所以.
故选：B.
本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
8．B
根据直线与平面平行的性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
若，则直线上任意一点到平面的距离均相等，正确；
若，则平面内存在无数条平行直线与直线平行，但与其平行直线相交的直线与直线异面，故错误，正确；
若，则在平面内垂直于直线的平行直线的直线与直线成角，这样的直线有无数条，正确.
故选：
本题考查线面平行的性质的应用，易错点是对于无数条直线与所有直线概念的理解出现问题，造成判断错误.
9．B
根据各项所描述的线面、面面关系，结合平面的基本性质判断正误.
【详解】
，，，，则相交或平行，故①错误；
，由线面垂直的性质定理可得：，故②正确；
，则或，故③错误；
，当与两平面交线垂直时，否则与不垂直，故④错误
故选：B.
10．C
根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.
【详解】
解：当时，如下图1，是四边形，故A正确；
当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：
当时，如下图3，是五边形，C错误；
当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.
故选：C
11．C
A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．
【详解】
A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；
B.因为，，所以或，又，所以，故错误；
C. 因为，，所以，又，所以，故正确；
D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．
故选：C
12．B
由已知为三角形的中位线，从而且，由，得在四边形中，，即，，，四点共面，且，由此能得出结论．
【详解】
如图所示，连接EF,GH.
四边形是空间四边形，、分别是、的中点，
为三角形的中位线
且
又，
，且，
在四边形中，
即，，，四点共面，且，
四边形是梯形，
直线与直线相交，
故选：B
方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明，，，四点共面，再证明直线与直线不平行.
13．
取BC中点为F，将直线EB平移至，找到夹角，在三角形中求解即可.
【详解】
根据题意，取BC中点为F，连接，作图如下：
在四边形中，
因为//，且=BF
故该四边形为平行四边形，
则//，
故为直线与BE所成角或其补角.
在中，根据题意可知
由余弦定理可得：
又异面直线夹角的范围为：
故
即直线与所成角的大小为.
故答案为：.
本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.
14．；
根据，得到异面直线与所成的角，然后在，利用正切函数求解.
【详解】
因为，
所以异面直线与所成的角，
在正四棱柱的底面边长为2，高为3，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
15．
取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，可结合原矩形求出，然后由直角三角形得出，再用余弦定理求得结论．
【详解】
取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，连接，，
∵，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
而平面，所以，，
又∵，，所以，，，
,，则是平行四边形，，
在原矩形中，则，
，
，
，，
在中，，
所以异面直线和所成角的余弦为．
故答案为：.
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
16．
由线面、点线的位置关系易知且，再由即可确定点P与直线l的位置关系.
【详解】
∵，
∴且，又，
∴点P在直线l上，即.
故答案为：
17．④
根据平面的公理及推论进行判断得解
【详解】
解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；
②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；
③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；
④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，
又因三角形的三个顶点不共线，故④对；
⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；
⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；
⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．
故答案为：④．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析
（1）根据公理一，证明直线上有两点在平面PQR上；
（2）根据公理二，证明都是平面PQR与平面BCD的公共点即可．
【详解】
证明（1）平面PQR，直线PQ，平面PQR.
平面PQR，直线RQ，平面PQR.
直线平面PQR.
（2）直线CB，平面BCD，平面BCD.
由（1）知平面PQR，
在平面PQR与平面BCD的交线上，
同理，可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，
，N，K三点共线，
点K在直线MN上.
本题考查公理一、公理二的应用，证明线在面内，证明三点共线．根据公理二，两个平面的公共点共线，这是证明三点共线的一种方法．
19．（1）；（2）.
（1）利用求解即可
（2）连结交于，连结，则可证得，所以(或补角)为异面直线与所成的角，由已知条件可得为等边三角形，再由正三角形的性质可得的值，从而可求得结果
【详解】
（1）因为是四棱锥的高，
所以是三棱锥的高，
所以.
（2）连结交于，连结，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
所以(或补角)为异面直线与所成的角，
因为，，
可得，
所以为等边三角形，所以，
又因为为的中点，所以，
即异面直线与所成的角.
此题考查三棱锥体积的求法，考查异成直线所成的角的求法，考查计算能力的推理能力，属于中档题
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；
（2）利用反证法，先假设D1B与CC1不是异面直线，证明D1，B，C，C1共面矛盾即可.
【详解】
（1）如图，连结MN，A1C1，AC.
∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
∵四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∴MN∥AC，
∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．
（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B 平面α，CC1 平面α，
∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
21．证明见解析
先证明点是平面与平面的公共点，再根据平面平面,即得证.
【详解】
因为平面,且与平面交于点，
所以点是平面与平面的公共点，
因为平面平面,
所以直线.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页